Question

【題目】某休閑廣場中央有一個半徑為1（百米）的圓形花壇，現(xiàn)計劃在該花壇內(nèi)建造一條六邊形觀光步道，圍出一個由兩個全等的等腰梯形（梯形ABCF和梯形DEFC）構(gòu)成的六邊形ABCDEF區(qū)域，其中A、B、C、D、E、F都在圓周上，CF為圓的直徑（如圖）．設(shè)∠AOF=θ，其中O為圓心．
（1）把六邊形ABCDEF的面積表示成關(guān)于θ的函數(shù)f（θ）；
（2）當(dāng)θ為何值時，可使得六邊形區(qū)域面積達(dá)到最大？并求最大面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：作AH⊥CF于H，

則OH=cosθ，AB=2OH=2cosθ，AH=sinθ，

則六邊形的面積為f （θ）=2× （AB+CF）×AH=（2cosθ+2）sinθ

=2（cosθ+1）sinθ，θ∈（0， ）

（2）解：f′（θ）=2[﹣sinθsinθ+（cosθ+1）cosθ]

=2（2cos2θ+cosθ﹣1）=2（2cosθ﹣1）（cosθ+1）．

令 f′（θ）=0，因為θ∈（0， ），

所以cosθ= ，即θ= ，

當(dāng)θ∈（0， ）時，f′（θ）＞0，所以f （θ）在（0， ）上單調(diào)遞增；

當(dāng)θ∈（ ， ）時，f′（θ）＜0，所以f （θ）在（ ， ）上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)θ= 時，f （θ）取最大值f （ ）=2（cos +1）sin = ．

答：當(dāng)θ= 時，可使得六邊形區(qū)域面積達(dá)到最大，最大面積為 平方百米

【解析】（1）作AH⊥CF于H，則六邊形的面積為f （θ）=2（cosθ+1）sinθ，θ∈（0， ）．（2）求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得θ= 時，f （θ）取最大值．