已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)經(jīng)過點M(1,
3
2
),且離心率為
1
2

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過點N(m,0)作圓O:x2+y2=
16
9
的切線l交橢圓C于A、B兩點,求△ABO面積的最大值(O為坐標原點).
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(Ⅰ)由已知得
1
a2
+
9
4
b2
=1
a2-b2
a2
=
1
4
,由此能求出橢圓C的方程.
(Ⅱ)△ABO面積S=
1
2
×
4
3
×|AB|
=
2
3
|AB|,|AB|最大時,△ABO面積最大.當(dāng)直線AB的斜率不存在時,|AB|=
2
15
3
;直線AB的斜率存在時,設(shè)直線AB的方程為y=k(x-m),由直線AB與圓相切可知k2=
16
9m2-16
,將直線方程y=k(x-m)代入橢圓方程消y,得(4k2+3)x2-8k2mx+4k2m2-12=0,設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2),由弦長公式得|AB|=
1+k2
|x1-x2|
=
12
2
|m|
16+27m2
11m2+16
,<
12
2
|m|
16+27m2
12
2
|m|
12
3
|m|
=
6
3
.所以|AB|的最大值為|AB|=
2
15
3
,△ABO面積的最大值為S=
2
3
|AB|=
4
15
9
解答: 解:(Ⅰ)∵橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
經(jīng)過點M(1,
3
2
)
,且離心率為
1
2

1
a2
+
9
4
b2
=1
a2-b2
a2
=
1
4
,
解得a2=4,b2=3,
∴橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1
;
(Ⅱ)∵△ABO面積S=
1
2
×
4
3
×|AB|
=
2
3
|AB|,
∴|AB|最大時,△ABO面積最大.
當(dāng)直線AB的斜率不存在時,AB的方程為x=m,
由直線AB與圓O:x2+y2=
16
9
相切,得m=±
4
3

把x=±
4
3
代入橢圓方程,得A(±
4
3
,
15
3
),B(±
4
3
,-
15
3
),|AB|=
2
15
3

∴△ABO面積S=
2
3
|AB|=
4
15
9

當(dāng)直線AB的斜率存在時,設(shè)直線AB的方程為y=k(x-m),
由直線AB與圓相切可知,圓心(0,0)到直線的距離d=
|km|
k2+1
=
4
3
,
整理,得k2=
16
9m2-16
,
將直線方程y=k(x-m)代入橢圓方程消y,得(4k2+3)x2-8k2mx+4k2m2-12=0,
△=64k4m2-4(4k2+3)(4k2m2-12)>0,
∴4k2-k2m2+3>0,
設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2),
∴x1+x2=
8k2m
4k2+3
,x1x2=
4k2m2-12
4k2+3
,
∴|AB|=
1+k2
|x1-x2|

=
1+k2
(
8k2m
4k2+3
)2-4•
4k2m2-12
4k2+3

=
1+k2
4k2+3
•4
3
4k2-k2m2+3

=
12
2
|m|
16+27m2
11m2+16

12
2
|m|
16+27m2
12
2
|m|
12
3
|m|
=
6
3

綜上所述,|AB|的最大值為|AB|=
2
15
3
,
∴△ABO面積的最大值為S=
2
3
|AB|=
4
15
9
點評:本題考查橢圓方程的求法,考查三角形面積的最大值的求法,解題時要認真審題,注意弦長公式的合理運用.
練習(xí)冊系列答案
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若270°<α<360°,三角函數(shù)式
1
2
+
1
2
1
2
+
1
2
cos2α
的化簡結(jié)果為(  )
A、sin
α
2
B、-sin
α
2
C、cos
α
2
D、-cos
α
2

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n
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OM
ON
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1
8
x2
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(2)設(shè)直線PM與二次函數(shù)y=
1
8
x2
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(3)過點P,Q分別作直線y=-2的垂線,垂足分別為H,R,取QH中點為E,求證:QE⊥PE.

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