Question

2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中．已知圓C經(jīng)過(guò)A（0，2），B（-1，0），D（t，0）（t＞0）三點(diǎn)．
（1）若t=$\frac{2}{3}$，求圓C在點(diǎn)D處的切線方程；
（2）若t=4時(shí)，在x軸上存在點(diǎn)E（異于點(diǎn)O）滿足：對(duì)于圓C上任意一點(diǎn)P，都有$\frac{PE}{PO}$為一常數(shù)，試求所有滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法，求出圓的方程，再求圓C在點(diǎn)D處的切線方程；
（2）利用待定系數(shù)法，求出圓的方程，假設(shè)存在E（a，0）滿足題意，利用特殊點(diǎn)求出結(jié)論，再進(jìn)行驗(yàn)證即可即可．

解答 解：（1）設(shè)圓的一般方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
∵圓經(jīng)過(guò)三個(gè)點(diǎn)A（0，2），B（-1，0），D（$\frac{2}{3}$，0）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{4+2E+F=0}\\{1-D+F=0}\\{\frac{4}{9}+\frac{2}{3}D+F=0}\end{array}\right.$，解得D=$\frac{1}{3}$，E=-$\frac{5}{3}$，F(xiàn)=-$\frac{2}{3}$，
即圓的方程為x²+y²+$\frac{1}{3}$x-$\frac{5}{3}$y-$\frac{2}{3}$=0，
∴C（-$\frac{1}{6}$，$\frac{5}{6}$），
∴k_CD=-1，
∴圓C在點(diǎn)D處的切線方程y=x-$\frac{2}{3}$．
（2）設(shè)圓的一般方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
∵圓經(jīng)過(guò)三個(gè)點(diǎn)A（0，2），B（-1，0），D（4，0）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{4+2E+F=0}\\{1-D+F=0}\\{16+4D+F=0}\end{array}\right.$解得D=-3，E=0，F(xiàn)=-4，
即圓的方程為x²+y²-3x-4=0，
假設(shè)存在E（a，0）（a≠0）滿足題意，
當(dāng)取P（-1，0）時(shí)，$\frac{PE}{PO}$=|a+1|；當(dāng)取P（4，0）時(shí)，$\frac{PE}{PO}$=$\frac{|a-4|}{4}$；
∴|a+1|=$\frac{|a-4|}{4}$，解得a=-$\frac{8}{3}$．
可得$\frac{PE}{PO}$=$\frac{5}{3}$．E（-$\frac{8}{3}$，0）．
設(shè)P（x，y），假設(shè)$\frac{PE}{PO}$=$\frac{\sqrt{（x+\frac{8}{3}）^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$=$\frac{5}{3}$，
化為x²+y²-3x-4=0．
因此點(diǎn)P在圓C上，滿足題意．
因此在x軸上存在點(diǎn)E（-$\frac{8}{3}$，0），使得對(duì)圓C上的任意一點(diǎn)P，$\frac{PE}{PO}$=$\frac{5}{3}$為同一常數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓相切的性質(zhì)、圓的點(diǎn)滿足特殊性質(zhì)，考查了取特殊點(diǎn)探究一般性規(guī)律的方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．