Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于⊙O：x2+y2＝1來(lái)說(shuō)，P是坐標(biāo)系內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到⊙O的距離SP的定義如下：若P與O重合，SP＝r；若P不與O重合，射線OP與⊙O的交點(diǎn)為A，SP＝AP的長(zhǎng)度（如圖）．

（1）直線2x+2y+1＝0在圓內(nèi)部分的點(diǎn)到⊙O的最長(zhǎng)距離為_____；

（2）若線段MN上存在點(diǎn)T，使得：

①點(diǎn)T在⊙O內(nèi)；

②點(diǎn)P∈線段MN，都有ST≥SP成立．則線段MN的最大長(zhǎng)度為_____．

Answer 1

【答案】1 4

【解析】

（1）作出對(duì)應(yīng)的圖象，由圖象可知當(dāng)直線與2x+2y+1＝0垂直時(shí)對(duì)應(yīng)的交點(diǎn)P，此時(shí)P到⊙O的距離最長(zhǎng)，即得解；

（2）分析可得SP≤1，因此當(dāng)線段MN過(guò)原點(diǎn)時(shí)，當(dāng)線段MN過(guò)原點(diǎn)時(shí)，MN的最大長(zhǎng)度為4，即得解.

作出對(duì)應(yīng)的圖象如圖：

由圖象可知當(dāng)直線與2x+2y+1＝0垂直時(shí)對(duì)應(yīng)的交點(diǎn)P，取得最小值，此時(shí)P到⊙O的距離最長(zhǎng)，

此時(shí)OP，則AP＝1﹣OP＝1．

（2）∵點(diǎn)T在⊙O內(nèi)，∴ST≤1，

∵ST≥SP成立，∴SP≤1，

點(diǎn)P∈線段MN，若P在圓內(nèi)，都滿足SP≤1；

若P在圓外，P必須在以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的內(nèi)部（含邊界）

∴當(dāng)線段MN過(guò)原點(diǎn)時(shí)，MN的最大長(zhǎng)度為1+2+1＝4，