Question

【題目】如圖，四邊形是平行四邊形，平面 平面，， ，,,,，為的中點(diǎn).

（1）求證： 平面；

（2）求證： 平面；

（3）求點(diǎn)到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)證明；（2）見(jiàn)證明；（3）

【解析】

（1）取的中點(diǎn)，通過(guò)證明四邊形是平行四邊形，可得到 ，從而得證；

（2）由余弦定理證得，通過(guò)平面平面即可得證；

（3）由 平面，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，通過(guò)計(jì)算距離即可.

（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，

在中，因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，

所以 且，

因?yàn)?/span> ， ，，

所以 且，

所以四邊形是平行四邊形，所以 ，

又平面，平面，

所以 平面．

（2）證明：在中，，，，

由余弦定理得，

因?yàn)?/span>，

所以.

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面,平面平面，

所以平面.

（3）解法1：由（1） 平面，

所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，

設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，

過(guò)作，交的延長(zhǎng)線于，

則平面，所以是三棱錐的高

由余弦定理可得，

所以,.

.

因?yàn)?/span>，

即，解得.

所以點(diǎn)到平面的距離為．

解法2：因?yàn)?/span> ，且,

所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離的，

由（2）面.

因?yàn)?/span>平面，所以平面平面．

過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，又因?yàn)槠矫?/span>平面，故平面.

所以為點(diǎn)到平面的距離．

在中，，

由余弦定理可得

所以，

因此，

所以點(diǎn)到平面的距離為