Question

設f（x）=ln（x²+1），g（x）=

1

2

x²-

1

2

．
（1）求F（x）=f（x）-g（x）的單調區(qū)間，并證明對[-1，1]上的任意x₁，x₂，x₃，都有F（x₁）+F（x₂）＞F（x₃）；
（2）將y=f（x）的圖象向下平移a（a＞0）個單位，同時將y=g（x）的圖象向上平移b（b＞0）個單位，使它們恰有四個交點，求

a+1

b+1

的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,函數的圖象與圖象變化

專題：導數的綜合應用

分析：（1）由F′（x）=

2x

x2+1

-x=-

x(x+1)(x-1)

x2+1

，得F（x）在（-∞，-1）和（0，1）上單調遞增，在（-1，0）和（1，+∞）上單調遞減，因此F（x₁）+F（x₂）≥2F（x）_min=1，而F（x₃）≤F（x）_max=ln 2，故F（x₁）+F（x₂）＞F（x₃）．
（2）由ln（x²+1）-a=

1

2

x²-

1

2

+b，則a+b=ln（x²+1）-

1

2

x²+

1

2

．令F（x）=ln（x²+1）-

1

2

x²+

1

2

，從而F（x）_極小值=F（0）=

1

2

，F(xiàn)（x）_極大值=F（1）=ln 2．
又F（4）=F（-4）＜0＜F（0），又

a+1

b+1

可視為點P（-1，-1）與可行域內的點連線的斜率，故

1

1+ln2

＜

a+1

b+1

＜1+ln 2．

解答： 解：（1）∵F（x）=ln（x²+1）-

1

2

x²-

1

2

，
∴F′（x）=

2x

x2+1

-x=-

x(x+1)(x-1)

x2+1

．
F′（x），F(xiàn)（x）的值隨x值的變化如下表：

x	（-∞，-1）	（-1，0）	（0，1）	（1，+∞）
F′（x）	+	-	+	-
F（x）	↗	↘	↗	↘

故F（x）在（-∞，-1）和（0，1）上單調遞增，在（-1，0）和（1，+∞）上單調遞減，
在[-1，1]上F（x）的最小值F（x）_min=F（0）=

1

2

．F（x）的最大值F（x）_max=F（1）=F（-1）=ln 2．
因此F（x₁）+F（x₂）≥2F（x）_min=1，而F（x₃）≤F（x）_max=ln 2，
故F（x₁）+F（x₂）＞F（x₃）．
（2）由題意可知y=ln（x²+1）-a與y=

1

2

x²-

1

2

+b的圖象恰有四個交點．
由ln（x²+1）-a=

1

2

x²-

1

2

+b，
則a+b=ln（x²+1）-

1

2

x²+

1

2

．
令F（x）=ln（x²+1）-

1

2

x²+

1

2

，
由（1）可知F（x）_極小值=F（0）=

1

2

，F(xiàn)（x）_極大值=F（1）=ln 2．
又F（4）=F（-4）＜0＜F（0），
所以F（x）的大致圖象如圖（1）所示，
要使y=a+b與y=F（x）恰有四個交點，
則

1

2

＜a+b＜ln 2．由

1 2 ＜a+b＜ln2 a＞0 b＞0

得到（b，a）的可行域為如圖（2）所示的陰部分．
又

a+1

b+1

可視為點P（-1，-1）與可行域內的點連線的斜率，
故

1

1+ln2

＜

a+1

b+1

＜1+ln 2．

點評：本題考察了函數的單調性，導數的應用，不等式的證明，函數的圖象的變化問題，滲透了分類討論，數形結合思想，是一道綜合題．