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【題目】已知函數.

（1）證明：；

（2）若當恒成立，求實數的取值范圍.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1），得到，得到，整理得到，即，令，證明得到答案.

（2）當時，要證即證，令，證明在上是減函數，得當時，在上恒成立，再證明時，在上不恒成立，得到答案.

（1），當時，，，

在上是增函數，又，.

由整理得，即，

令，即，

在上是增函數，又，，，

，

綜上，.

（2）當時，要證，

即證，

只需證明.

由（1）可知：當時，，

即，

，

令，則，

令，則，

當時，，在上是減函數，

故當時，，在上是減函數，

，，

故當時，在上恒成立.

當時，由（1）可知：，即，

，

令，則，

當時，，在上是減函數，

在上的值域為.

，，存在，使得，此時

故時，在上不恒成立.

綜上，實數的取值范圍是.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知正邊長為3，點M，N分別是AB，AC邊上的點，，如圖1所示.將沿MN折起到的位置，使線段PC長為連接PB，如圖2所示.

（1）求證：平面平面BCNM；

（2）若點D在線段BC上，且，求平面PDM和平面PDC所成銳二面角的余弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】2020年新年伊始，新型冠狀病毒來勢洶洶，疫情使得各地學生在寒假結束之后無法返校，教育部就此提出了線上教學和遠程教學，停課不停學的要求也得到了家長們的贊同．各地學校開展各式各樣的線上教學，某地學校為了加強學生愛國教育，擬開設國學課，為了了解學生喜歡國學是否與性別有關，該學校對100名學生進行了問卷調查，得到如下列聯表：

喜歡國學

不喜歡國學

合計

男生

20

50

女生

10

合計

100

（1）請將上述列聯表補充完整，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為喜歡國學與性別有關系？

（2）針對問卷調查的100名學生，學校決定從喜歡國學的人中按分層抽樣的方法隨機抽取6人成立國學宣傳組，并在這6人中任選2人作為宣傳組的組長，求選出的兩人均為女生的概率．

參考數據：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

，．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，沿其對角線BD將折起至，使得點在平面ABCD內的射影恰為點B，點E為的中點．

（Ⅰ）求證：平面BDE；

（Ⅱ）若，求與平面BDE所成的角．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在脫貧攻堅中，某市教育局定點幫扶前進村戶貧困戶.駐村工作隊對這戶村民的貧困程度以及家庭平均受教育程度進行了調査，并將該村貧困戶按貧困程度分為“絕對貧困戶”與“相對貧困戶”，同時按家庭平均受教育程度分為“家庭平均受教育年限年”與“家庭平均受教育年限年”，具體調査結果如下表所示：

平均受教育年限年

平均受教育年限年

總計

絕對貧困戶

10

40

50

相對貧困戶

20

30

50

總計

30

70

100

（1）為了參加扶貧辦公室舉辦的貧困戶“談心談話”活動，現通過分層抽樣從“家庭平均受教育年限年”的戶貧困戶中任意抽取戶，再從所抽取的戶中隨機抽取戶參加“談心談話”活動，求至少有戶是絕對貧困戶的概率；

（2）根據上述表格判斷：是否有的把握認為貧困程度與家庭平均受教育程度有關？

參考公式：

參考數據：

0.050

0.010

0.005

0.001

3.841

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知平面四邊形中，為的中點，，，且.將此平面四邊形沿折成直二面角，連接、、.

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知的內角、、的對邊分別為、、，且．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，，如圖，為線段上一點，且，求的長．

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【題目】已知橢圓的離心率為，圓經過橢圓C的左、右焦點，．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若A，B，D，E是橢圓C上不同四點（其中點D在第一象限），且，直線，關于直線對稱，求直線的方程．

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【題目】設橢圓的左頂點為，右頂點為，已知橢圓的離心率為，且以線段為直徑的圓被直線所截的弦長為．

（1）求橢圓的方程；

（2）記橢圓的右焦點為，過點且斜率為的直線交橢圓于兩點．若線段的垂直平分線與軸交于點，求的取值范圍．

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