【題目】已知函數(shù),,其中a∈R.
(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),判斷f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若g(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),求正實(shí)數(shù)a的取值范圍
【答案】(Ⅰ)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.(Ⅱ)a≥
【解析】
試題分析:(Ⅰ)求函數(shù)導(dǎo)數(shù)并確定導(dǎo)函數(shù)符號(hào):,即得函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增(Ⅱ)g(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),等價(jià)于g′(x)≥0恒成立,再利用變量分離法將其轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值:的最大值,最后利用基本不等式求最大值得正實(shí)數(shù)a的取值范圍
試題解析:(1)由得定義域?yàn)?/span>(0,+∞),,
當(dāng)a=1時(shí),, f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.………5分
(2)由已知得,
因?yàn)間(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),所以x∈(0,+∞),
g′(x)≥0,即ax2-5x+a≥0,即
而,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí),等號(hào)成立,
所以a≥.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知某中學(xué)高一學(xué)生的數(shù)學(xué)與地理的水平測(cè)試成績(jī)抽樣統(tǒng)計(jì)如下表:若抽取的學(xué)生數(shù)為,成績(jī)分為(優(yōu)秀)、(良好)、(及格)三個(gè)等級(jí),設(shè), 分別表示數(shù)學(xué)成績(jī)與地理成績(jī).例如:表中地理成績(jī)?yōu)?/span>等級(jí)的共有人,數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?/span>級(jí)且地理成績(jī)?yōu)?/span>等級(jí)的有8人.已知與均為等級(jí)的頻率是0.07.
(1)設(shè)在該樣本中,數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率是,求, 的值;
(2)已知, ,求數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?/span>等級(jí)的人數(shù)比數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?/span>等級(jí)的人數(shù)多的概率.
人數(shù) | |||
14 | 40 | 10 | |
36 | |||
28 | 8 | 34 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】計(jì)劃在某水庫(kù)建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站,過(guò)去50年的水文資料顯示,水庫(kù)年入流量(年入流量:一年內(nèi)上游來(lái)水與庫(kù)區(qū)降水之和,單位:億立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超過(guò)120的年份有35年,超過(guò)120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率,并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立.
(Ⅰ)求在未來(lái)4年中,至多1年的年入流量超過(guò)120的概率;
(Ⅱ)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行,但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量限制,并有如下關(guān)系;
年入流量 | |||
發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù) | 1 | 2 | 3 |
若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,則該臺(tái)發(fā)電機(jī)年利潤(rùn)為5000萬(wàn)元;若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行,則該臺(tái)發(fā)電機(jī)年虧損800萬(wàn)元,欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大,應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為貫徹落實(shí)教育部等部門(mén)《關(guān)于加快發(fā)展青少年校園足球的實(shí)施意見(jiàn)》,全面提高我市中學(xué)生的體質(zhì)健康水平,普及足球知識(shí)和技能,市教體局決定舉行春季校園足球聯(lián)賽,為迎接此次聯(lián)賽,甲中學(xué)選拔了名學(xué)生組成集訓(xùn)隊(duì),現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了這名學(xué)生的身高,記錄如下表:
身高 | ||||||||
人數(shù) |
(1)請(qǐng)計(jì)算這名學(xué)生的身高中位數(shù)、眾數(shù),并補(bǔ)充完成下面的莖葉圖:
(2)身高為和的四名學(xué)生分別為,現(xiàn)從這四名學(xué)生中選名擔(dān)任正副門(mén)將,請(qǐng)利用列舉法列出所有可能情況,并求學(xué)生入選正門(mén)將的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱的側(cè)面是邊長(zhǎng)為1的正方形,側(cè)面側(cè)面是的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求證:平面;
(3)在線段上是否存在一點(diǎn),使二面角為45°,若存在,求的長(zhǎng);若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,平面,,,,,,為線段上一點(diǎn).
(Ⅰ)求的值,使得平面;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,求二面角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了弘揚(yáng)民族文化,某校舉行了“我愛(ài)國(guó)學(xué),傳誦經(jīng)典”考試,并從中隨機(jī)抽取了100名考生的成績(jī)(得分均為整數(shù),滿(mǎn)分100分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)制表,其中成績(jī)不低于80分的考生被評(píng)為優(yōu)秀生,請(qǐng)根據(jù)頻率分布表中所提供的數(shù)據(jù),用頻率估計(jì)概率,回答下列問(wèn)題.
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
5 | ||
35 | ||
25 | ||
15 | ||
合計(jì) | 100 |
(Ⅰ)求的值及隨機(jī)抽取一考生恰為優(yōu)秀生的概率;
(Ⅱ)按成績(jī)采用分層抽樣抽取20人參加學(xué)校的“我愛(ài)國(guó)學(xué)”宣傳活動(dòng),求其中優(yōu)秀生的人數(shù);
(Ⅲ)在第(Ⅱ)問(wèn)抽取的優(yōu)秀生中指派2名學(xué)生擔(dān)任負(fù)責(zé)人,求至少一人的成績(jī)在的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知a,b,c是兩兩不等的實(shí)數(shù),則p=a2+b2+c2與q=ab+bc+ca的大小關(guān)系是________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,P為平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn),MN分別為ABPC的中點(diǎn),平面PAD∩平面PBC=l.
(1)判斷BC與l的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)判斷MN與平面PAD的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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