Question

已知a∈R且a＞-1，函數(shù)f(x)=x3-

3

2

(3-a)x2+6(1-a)x，x∈R．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）g（a）為函數(shù)f（x）在[-1，3]上的最小值，求g（a）的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出f'（x）=3（x-2）[x-（1-a）]，解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，注意a的范圍；
（2）由 （1）可知函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1-a），（2，+∞），遞減區(qū)間為（1-a，2），按照極值點(diǎn)1-a在區(qū)間[-1，3]左側(cè)、內(nèi)部?jī)煞N情況進(jìn)行討論，由單調(diào)性可求得函數(shù)的最小值g（a），當(dāng)1-a≥-1時(shí)，要注意討論f（-1）與f（2）的大小；

解答： 解：（1）∵f(x)=x3-

3

2

(3-a)x2+6(1-a)x，
∴f'（x）=3x²-3（3-a）x+6（1-a）=3（x-2）[x-（1-a）]，
令f'（x）=0，解得x₁=2，x₂=1-a，
∵a＞-1，∴1-a＜2，
由f'（x）＞0，得x＜1-a，或x＞2；由f'（x）＜0，得1-a＜x＜2；
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1-a），（2，+∞），遞減區(qū)間為（1-a，2）；
（2）由 （1）可知函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1-a），（2，+∞），遞減區(qū)間為（1-a，2），
①當(dāng)1-a＜-1，即a＞2時(shí)，g（a）=f（2）=-6a+2；
②當(dāng)1-a≥-1，即-1＜a≤2時(shí)，f(-1)=

15

2

a-

23

2

，
此時(shí)g（a）=min{f（2），f（-1）}，
令f（-1）＞f（2），解得1＜a≤2，故當(dāng)1＜a≤2時(shí)，g（a）=f（2）=-6a+2；
令f（-1）≤f（2），解得-1＜a≤1，故當(dāng)-1＜a≤1時(shí)，g(a)=f(-1)=

15

2

a-

23

2

；
綜合①②可得：g(a)=

15 2 a- 23 2 ，   -1＜a≤1 -6a+2，     a＞1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查分類討論思想，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析問題解決問題的能力，屬中檔題．