Question

數(shù)列{a_n}滿足a_n+1+a_n=4n-3（n∈N^*）
（Ⅰ）若{a_n}是等差數(shù)列，求其通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若{a_n}滿足a₁=2，S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和，求S_2n+1．

Answer 1

【答案】分析：（ I）由題意得a_n+1+a_n=4n-3，a_n+2+a_n+1=4n+1．所以a_n+2-a_n=4，由{a_n}是等差數(shù)列，公差d=2，能求出．
（Ⅱ）由a₁=2，a₁+a₂=1，知a₂=-1．因?yàn)閍_n+2-a_n=4，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，公差均為4，故a_2n-1=4n-2，a_2n=4n-5．由此能求出S_2n+1．
解答：解：（ I）由題意得a_n+1+a_n=4n-3…①
a_n+2+a_n+1=4n+1…②．…（2分）
②-①得a_n+2-a_n=4，
∵{a_n}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，∴d=2，（4分）
∵a₁+a₂=1∴a₁+a₁+d=1，∴．（6分）
∴．（7分）
（Ⅱ）∵a₁=2，a₁+a₂=1，
∴a₂=-1．（8分）
又∵a_n+2-a_n=4，
∴數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，公差均為4，
∴a_2n-1=4n-2，a_2n=4n-5．（11分）
S_2n+1=（a₁+a₃+…+a_2n+1）+（a₂+a₄+…+a_2n）（12分）
=
=4n²+n+2．（14分）
點(diǎn)評：本題數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯．解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的靈活運(yùn)用．