Question

（2011•浙江模擬）數(shù)列{a_n}滿足a_n+1+a_n=4n-3（n∈N^*）
（Ⅰ）若{a_n}是等差數(shù)列，求其通項公式；
（Ⅱ）若{a_n}滿足a₁=2，S_n為{a_n}的前n項和，求S_2n+1．

Answer 1

分析：（ I）由題意得a_n+1+a_n=4n-3，a_n+2+a_n+1=4n+1．所以a_n+2-a_n=4，由{a_n}是等差數(shù)列，公差d=2，能求出an=2n-

5

2

．
（Ⅱ）由a₁=2，a₁+a₂=1，知a₂=-1．因為a_n+2-a_n=4，所以數(shù)列的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別成等差數(shù)列，公差均為4，故a_2n-1=4n-2，a_2n=4n-5．由此能求出S_2n+1．

解答：解：（ I）由題意得a_n+1+a_n=4n-3…①
a_n+2+a_n+1=4n+1…②．…（2分）
②-①得a_n+2-a_n=4，
∵{a_n}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，∴d=2，（4分）
∵a₁+a₂=1∴a₁+a₁+d=1，∴a1=-

1

2

．（6分）
∴an=2n-

5

2

．（7分）
（Ⅱ）∵a₁=2，a₁+a₂=1，
∴a₂=-1．（8分）
又∵a_n+2-a_n=4，
∴數(shù)列的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別成等差數(shù)列，公差均為4，
∴a_2n-1=4n-2，a_2n=4n-5．（11分）
S_2n+1=（a₁+a₃+…+a_2n+1）+（a₂+a₄+…+a_2n）（12分）
=(n+1)×2+

(n+1)n

2

×4+n×(-1)+

n(n-1)

2

×4
=4n²+n+2．（14分）

點評：本題數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．解題時要認真審題，注意等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式的靈活運用．