Question

（2012•江蘇二模）已知各項均為正整數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a_n＜a_n+1，且存在正整數(shù)k（k＞1），使得a₁+a₂+…+a_k=a₁•a₂…a_k，a_n+k=k+a_n（n∈N^*）．
（1）當k=3，a₁a₂a₃=6時，求數(shù)列{a_n}的前36項的和S₃₆；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項a_n；
（3）若數(shù)列{b_n}滿足bnbn+1=-21•(

1

2

)an-8，且b₁=192，其前n項積為T_n，試問n為何值時，T_n取得最大值？

Answer 1

分析：（1）設c_n=a_3n-2+a_3n-1+a_3n，由a_n+3=3+a_n，得c_n+1=c_n+9，所以數(shù)列{c_n}是公差為9的等差數(shù)列，由此可求數(shù)列{a_n}的前36項的和S₃₆；
（2）確定a₁=1，a₂=2，a₃=3，且a_n+3=3+a_n，從而可求數(shù)列的通項；
（3）根據(jù)bn•bn+1=-21•(

1

2

)an-8，可得bn+1•bn+2=-21•(

1

2

)an+1-8，從而可得{b_2n}，{b_2n-1}都是以

1

2

為公比的等比數(shù)列，由此可求數(shù)列{b_n}的通項，進一步確定n≥13，n為奇數(shù)時，|T₂|＜|T₄|＜…＜|T₁₂|，|T₁₂|＞|T₁₄|＞…；n為偶數(shù)時，|T₁|＜|T₃|＜…＜|T₁₃|，|T₁₃|＞|T₁₅|＞…，由此可得結論．

解答：解：（1）當k=3，a₁a₂a₃=6，則a₁+a₂+a₃=6．
設c_n=a_3n-2+a_3n-1+a_3n，由a_n+3=3+a_n，得c_n+1=c_n+9，所以數(shù)列{c_n}是公差為9的等差數(shù)列，
故S36=c1+c2+…+c12=12×6+

12×11

2

×9=666．…（4分）
（2）若k=2時，a₁+a₂=a₁•a₂，又a₁＜a₂，
所以a₁•a₂＜2a₂，所以a₁=1，此時1+a₂=a₂，矛盾．  …（6分）
若k=3時，a₁+a₂+a₃=a₁•a₂•a₃，所以a₁•a₂•a₃＜3a₃，a₁•a₂＜3，
所以a₁=1，a₂=2，a₃=3，滿足題意． …（8分）
若k≥4時，a₁+a₂+…+a_k=a₁•a₂•…•a_k，所以a₁•a₂•…•a_k＜ka_k，即a₁•a₂•…•a_k-1＜k，
又因為a₁•a₂•…•a_k-1＞1×2×…×（k-1）≥2k-2＞k，所以k≥4不滿足題意．…（10分）
所以，a₁=1，a₂=2，a₃=3，且a_n+3=3+a_n，
所以a_3n-2=a₁+3（n-1）=3n-2，a_3n-1=a₂+3（n-1）=3n-1，a_3n=a₃+3（n-1）=3n，
故a_n=n．   …（12分）
（3）因為bn•bn+1=-21•(

1

2

)an-8，所以bn+1•bn+2=-21•(

1

2

)an+1-8
所以

bn+2

bn

=

1

2

，所以{b_2n}，{b_2n-1}都是以

1

2

為公比的等比數(shù)列，
所以b_n=

3•26•( 1 2 ) n-1 2 ，n＞1，n為奇數(shù) -14×( 1 2 ) n 2 -1，n＞2，n為偶數(shù)

   …（14分）
令|b_n•b_n+1|＜1，即|-21•(

1

2

)n-8|＜1，∴(

1

2

)n-8＜

1

21

，
所以n≥13，n為奇數(shù)時，有|b₁•b₂|＞1，|b₃•b₄|＞1，…，|b₁₁•b₁₂|＞1，|b₁₃b₁₄|＜1，|b₁₅•b₁₆|＜1，
從而|T₂|＜|T₄|＜…＜|T₁₂|，|T₁₂|＞|T₁₄|＞…，
n為偶數(shù)時，有|b₂•b₃|＞1，|b₄•b₅|＞1，…，|b₁₂•b₁₃|＞1，|b₁₄•b₁₅|＜1，|b₁₆•b₁₇|＜1，
從而|T₁|＜|T₃|＜…＜|T₁₃|，|T₁₃|＞|T₁₅|＞…，
注意到T₁₂＞0，T₁₃＞0，且T₁₃=b₁₃•T₁₂=3T₁₂＞T₁₂，
所以數(shù)列{b_n}的前n項積T_n最大時n的值為13． …

點評：本題考查數(shù)列的通項與求和，考查學生分析解決問題的能力，確定數(shù)列的性質(zhì)是關鍵．