Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）對于，不等式恒成立，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為;（2）.

【解析】【試題分析】（1）依據(jù)題設(shè)條件，先對函數(shù)求導(dǎo)，再運用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系分析求解；（2）借助題設(shè)條件，運用等價轉(zhuǎn)化的思想及分類整合思想建立函數(shù)關(guān)系，借助導(dǎo)數(shù)知識分析求解：

（1）對求導(dǎo)，得．

令，得，即，于是．

令，得，即，于是．

由，得．

令，顯然是其一根．

又因為遞增，所以只有唯一根．

當(dāng)時，，則遞減；當(dāng)時，，則遞增．　

所以的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.

（2）不等式恒成立，即恒成立．

令，則只需．

由，得．

①當(dāng)，即時，，則在車上遞增，沒有最小值，舍去；

②當(dāng)，即時，令，得．

當(dāng)時，，則在遞減；

當(dāng)時，，則在遞增．

所以．

于是只需，則，

令，則，

令 ，由，解得．

當(dāng)時，，則在遞增；

當(dāng)時，，則在遞減．

所以，于是，即的最大值為