Question

若函數f（x）=x²+ax（a＞0）對區(qū)間（

1

2

，1）內的任意兩個相異的實數x₁，x₂恒有|f（x₁）-f（x₂）|＞2|x₁-x₂|，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：由已知中對于區(qū)間（

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，1）內任意兩個相異實數x₁，x₂，總有|f（x₁）-f（x₂）|＞2|x₁-x₂|成立可得|a-（x₁+x₂）|＞2對任意的x₁，x₂在上恒成立．進而可得實數a的取值范圍．

解答： 解：若對于區(qū)間（

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2

，1）內任意兩個相異實數x₁，x₂，
且|f（x₁）-f（x₂）|=|（x₁-x₂）（x₁+x₂-a）|=|（x₁-x₂）|（x₁+x₂+a）|＞2|x₁-x₂|（x₁≠x₂）恒成立，
則|a+（x₁+x₂）|＞2對任意的x₁，x₂在上恒成立．
則a＞-（x₁+x₂）+2，或a＜-（x₁+x₂）-2恒成立，
∴a≥1，或a＜-4，
∵a＞0
故實數a的取值范圍是[1，+∞），
故答案為：[1，+∞）

點評：本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，以及恒成立的問題．