Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是B₁C₁、C₁D₁的中點(diǎn)，AC∩BD=P，A₁C₁∩EF=Q，求證：
（1）D、B、F、E四點(diǎn)共面；
（2）求截面BDEF的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：平面的基本性質(zhì)及推論

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）證明EF∥BD，即可證明D、B、F、E四點(diǎn)共面；
（2）設(shè)出正方體的棱長為a，截面BDEF是等腰梯形，求出它的面積即可．

解答： （1）證明：如圖所示，
連接B₁D₁，交A₁C₁于點(diǎn)M，
∵BB₁∥DD₁，且BB₁=DD₁，
∴四邊形BDD₁B₁是平行四邊形；
∴BD∥B₁D₁；
又∵E、F分別是B₁C₁、C₁D₁的中點(diǎn)，
∴EF∥B₁D₁，
∴EF∥BD；
∴D、B、F、E四點(diǎn)共面；
（2）解：設(shè)正方體的棱長為a，則BD=B₁D₁=

2

a，
EF=

1

2

B₁D₁=

2

2

a，
∴PQ=

PM2+MQ2

=

a2+( 2 2 a)2

=

6

2

a；
∴截面BDEF的面積為
S=

1

2

（BD+EF）•PQ
=

1

2

×（

2

a+

2

2

a）•

6

2

a
=

3 3

4

a²．

點(diǎn)評：本題考查了證明四點(diǎn)共面的問題以及求截面面積的問題，解題時(shí)應(yīng)用平面公理的推理以及梯形的面積公式，是基礎(chǔ)題．