Question

【題目】過點(diǎn)作圓的切線，已知，分別為切點(diǎn)，直線恰好經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)和下頂點(diǎn)，則直線方程為___________；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

①當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，切點(diǎn)的坐標(biāo)；

②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，根據(jù)圓心到切線的距離等于半徑，求出確定直線方程，直線方程與圓方程的聯(lián)立，進(jìn)一步求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出方程，則橢圓的右焦點(diǎn)及下頂點(diǎn)可求，其標(biāo)準(zhǔn)方程可求.

解：①當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，切點(diǎn)的坐標(biāo)；

②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，即，

根據(jù)直線與圓相切，圓心到切線的距離等于半徑，得

可以得到切線斜率，即，

直線方程與圓方程的聯(lián)立

可以得切點(diǎn)的坐標(biāo)，

根據(jù)、兩點(diǎn)坐標(biāo)可以得到直線方程為，（或利用過圓上一點(diǎn)作圓的兩條切線，則過兩切點(diǎn)的直線方程為）

依題意，與軸的交點(diǎn)即為橢圓右焦點(diǎn)，得，

與軸的交點(diǎn)即為橢圓下頂點(diǎn)坐標(biāo)，所以，

根據(jù)公式得，

因此，橢圓方程為．