Question

等邊三角形ABC的邊長為3，點D、E分別是邊AB、AC上的點，且滿足

AD

DB

=

CE

EA

=

1

2

（如圖1）．將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使二面角A₁-DE-B成直二面角，連結(jié)A₁B、A₁C（如圖2）．

（Ⅰ）求證：A₁D⊥平面BCED；
（Ⅱ）若點P在線段BC上，PB=

5

2

，求直線PA₁與平面A₁BD所成的角．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知得AD=1，AE=2．由余弦定理得DE=

3

．從而AD⊥DE．折疊后有A₁D⊥DE．因為二面角A₁-DE-B是直二面角，所以平面A₁DE⊥平面BCED．由此能證明A₁D⊥平面BCED．
（Ⅱ）假設(shè)在線段BC上存在點P，使直線PA₁與平面A₁BD所成的角為60°．作PH⊥BD于點H，連結(jié)A₁H、A₁P．
∠PA₁H是直線PA₁與平面A₁BD所成的角．由此能求出在線段BC上存在點，使直線PA₁與平面A₁BD所成的角的大小．

解答： （Ⅰ）證明：因為等邊△ABC的邊長為3，且

AD

DB

=

CE

EA

=

1

2

，
所以AD=1，AE=2．
在△ADE中，∠DAE=60°，
由余弦定理得DE=

12+22-2×1×2×cos60°

=

3

．
因為AD²+DE²=AE²，所以AD⊥DE．
折疊后有A₁D⊥DE．因為二面角A₁-DE-B是直二面角，
所以平面A₁DE⊥平面BCED．又平面A₁DE∩平面BCED=DE，
A₁D?平面A₁DE，A₁D⊥DE，所以A₁D⊥平面BCED．
（Ⅱ）解：假設(shè)在線段BC上存在點P，
使直線PA₁與平面A₁BD所成的角為60°．如圖，
作PH⊥BD于點H，連結(jié)A₁H、A₁P．
由（Ⅰ）有A₁D⊥平面BCED，而PH?平面BCED，
所以PH⊥A₁D．又A₁D∩BD=D，所以PH⊥平面A₁BD．
所以∠PA₁H是直線PA₁與平面A₁BD所成的角．
設(shè)PB=x，（0≤x≤3），則BH=

x

2

，PH=

3

2

x．
在Rt△PA₁H中，∠PA₁H=60°，
所以A1H=

1

2

x，在Rt△A₁DH中，DH=2-

1

2

x．
由A1D2+DH²=A₁H²，得12+(2-

1

2

x)2=(

1

2

x)2．
解得x=

5

2

，滿足0≤x≤3，符合題意．
所以在線段BC上存在點，使直線PA₁與平面A₁BD所成的角為60°，此時PB=

5

2

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．