Question

已知函數(shù)f（x）=2cos（x+

π

3

）[sin（x+

π

3

）-

3

cos（x+

π

3

）]．
（1）求f（x）的值域和最小正周期；
（2）若對任意x∈[0，

π

6

]，使得m[f（x）+

3

]+2=0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)二倍角公式和和差角公式（輔助角公式），化簡函數(shù)解析式為正弦型函數(shù)的形式，進而結合ω=2，可得f（x）的最小正周期；由A，B的值，可得f（x）的值域；
（2）若對任意x∈[0，

π

6

]，使得m[f（x）+

3

]+2=0恒成立，f（x）+

3

=-

2

m

，進而可得實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=2cos（x+

π

3

）sin（x+

π

3

）-2

3

cos²（x+

π

3

）
=sin（2x+

2π

3

）-

3

cos（2x+

2π

3

）-

3

=2sin（2x+

2π

3

-

π

3

）-

3

=2sin（2x+

π

3

）-

3

∵A=2，B=-

3

，
故f（x）的值域為[-2-

3

，2-

3

]，
∵ω=2，
故f（x）的最小正周期為π；
（2）當x∈[0，

π

6

]時，2x+

π

3

∈[

π

3

，

2π

3

]，
故sin（2x+

π

3

）∈[

3

2

，1]，
此時f（x）+

3

=2sin（2x+

π

3

）∈[

3

，2]，
由m[f（x）+

3

]+2=0恒成立得：m≠0，
∴f（x）+

3

=-

2

m

，
即-

2

m

∈[

3

，2]，
解得：m∈[-

2 3

3

，-1]，
故實數(shù)m的取值范圍為：[-

2 3

3

，-1]

點評：本題考查的知識點是三角函數(shù)中的恒等變換，三角函數(shù)的周期性及單調(diào)性，熟練掌握三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關鍵．