Question

已知函數(shù)f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)．
（1）求k的值；
（2）設(shè)g（x）=log₄（2^x-1-

4

3

a），若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用偶函數(shù)的定義即可得出；
（2）函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
?函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）=log₄（4^x+1）-

1

2

x-log₄（2^x-1-

4

3

a）=log4

4x+1

2x-1- 4 3 a

-

1

2

x只有一個(gè)零點(diǎn)．
由h（x）=0，化為

4

3

a=-(

2x

2

+

1

2x

)，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），∴log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx，
化為log4

1+4x

4x

×

1

1+4x

=2kx，化為（2k+1）x=0，
此式對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都成立，∴2k+1=0，解得k=-

1

2

．
經(jīng)過驗(yàn)證滿足條件．
（2）∵函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）=log₄（4^x+1）-

1

2

x-log₄（2^x-1-

4

3

a）=log4

4x+1

2x-1- 4 3 a

-

1

2

x只有一個(gè)零點(diǎn)．
由h（x）=0，可得

4x+1

2x-1- 4 3 a

=4

1

2

x，化為

4

3

a=-(

2x

2

+

1

2x

)≤-2

2x 2 • 1 2x

=-

2

，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)．
∴a≤-

3 2

4

．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤-

3 2

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)、奇偶性、指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．