Question

A有一只放有x個(gè)紅球，y個(gè)白球，z個(gè)黃球的箱子，且x+y+z=6（x，y，z∈N），B有一只放有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，1個(gè)黃球的箱子，兩人各自從自己的箱子中任取一球，規(guī)定：當(dāng)兩球同色時(shí)A勝，異色時(shí)B勝；
（1）用x，y，z表示A勝的概率；
（2）若又規(guī)定當(dāng)A取紅、白、黃球而勝的得分分別為1、2、3分，否則得0分，求A得分的期望最大值及此時(shí)x，y，z的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中當(dāng)兩球同色時(shí)A勝，根據(jù)A有一只放有x個(gè)紅球，y個(gè)白球，z個(gè)黃球的箱子，且x+y+z=6（x，y，z∈N），B有一只放有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，1個(gè)黃球的箱子，代入相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式，即可得到答案．
（2）由當(dāng)A取紅、白、黃球而勝的得分分別為1、2、3分，否則得0分，我們分別設(shè)A的得分為隨機(jī)變量ξ，則我們可得隨機(jī)變量ξ的取值可能為3，2，1，0，求出其分布列后，代入數(shù)學(xué)期望公式，即可得到答案．

解答：解：（1）∵P（A勝）=P（A、B均取紅球）+P（A、B均取白球）+P（A、B均取黃球）
又∵A有一只放有x個(gè)紅球，y個(gè)白球，z個(gè)黃球的箱子，且x+y+z=6
B有一只放有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，1個(gè)黃球的箱子
∴P（A勝）=

x

6

×

3

6

+

y

6

×

2

6

+

z

6

×

1

6

=

1

36

（3x+2y+z）
（2）設(shè)A的得分為隨機(jī)變量ξ，則
 P（ξ=3）=

z

6

×

1

6

=

z

36

，
P(ξ=2)=

y

6

×

2

6

=

2y

36

P(ξ=1)=

x

6

×

3

6

=

3x

36

，
P(ξ=0)=1-

3x+2y+z

36

Eξ=3×

z

36

+2×

2y

36

+1×

3x

36

+0=

3z+4y+3x

36

=

3(x+y+z)+y

36

=

1

2

+

y

36

∵x，y，z∈N且x+y+z=6又0≤3x+2y+z≤36
∴當(dāng)y=6時(shí)，Eξ取值最大值為

2

3

，此時(shí)x=z=0

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是概率的應(yīng)用，隨機(jī)變量的分布列與隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，其中（1）的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到：P（A勝）=P（A、B均取紅球）+P（A、B均取白球）+P（A、B均取黃球）；（2）的關(guān)鍵是求出隨機(jī)變量ξ的分布列．