Question

A有一只放有x個(gè)紅球，y個(gè)白球，z個(gè)黃球的箱子（x、y、z≥0，且x+y+z=6），B有一只放有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，1個(gè)黃球的箱子，兩人各自從自己的箱子中任取一球比顏色，規(guī)定同色時(shí)為A勝，異色時(shí)為B勝．
（1）用x、y、z表示B勝的概率；（2）當(dāng)A如何調(diào)整箱子中球時(shí)，才能使自己獲勝的概率最大？
（3）若規(guī)定A取紅球，白球，黃球而獲勝的得分分別為1，2，3分，否則得0分，求A得分的期望的最大值及此時(shí)x，y，z的值．

Answer 1

解：（1）顯然A勝與B勝為對(duì)立事件，
A勝分為三個(gè)基本事件：
①A₁：“A、B均取紅球”；
②A₂：“A、B均取白球”；
③A₃：“A、B均取黃球”．
∵
∴，
∴
（2）由（1）知，
又x+y+z=6，x≥0，y≥0，z≥0，
于是，
∴當(dāng)x=6，y=z=0，
即A在箱中只放6個(gè)紅球時(shí)，獲勝概率最大，其值為．
（3）設(shè)A的得分為隨機(jī)變量ξ，
則；
；
；
，
∴，
∵x+y+z=6（x，y，z∈N），
∴y=6時(shí)，
Eξ取得最大值為，
此時(shí)x=z=0．
分析：（1）A勝與B勝為對(duì)立事件，A勝分為三個(gè)基本事件：①A₁：“A、B均取紅球”；②A₂：“A、B均取白球”；③A₃：“A、B均取黃球”．由此能求出用x、y、z表示B勝的概率．
（2）由（1）知，又x+y+z=6，x≥0，y≥0，z≥0，于是，由此能求出A在箱中只放6個(gè)紅球時(shí)，獲勝概率最大，其值為．
（3）設(shè)A的得分為隨機(jī)變量ξ，則；；；，由此能求出A得分的期望的最大值及此時(shí)x，y，z的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查概率在生產(chǎn)實(shí)際中的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)是知識(shí)體系不牢固．解題時(shí)要注意概率性質(zhì)和古典概型的特征的靈活運(yùn)用．