Question

A有一只放有x個紅球，y個白球，z個黃球的箱子（x、y、z≥0，且x+y+z=6），B有一只放有3個紅球，2個白球，1個黃球的箱子，兩人各自從自己的箱子中任取一球比顏色，規(guī)定同色時為A勝，異色時為B勝．
（1）用x、y、z表示B勝的概率；（2）當(dāng)A如何調(diào)整箱子中球時，才能使自己獲勝的概率最大？
（3）若規(guī)定A取紅球，白球，黃球而獲勝的得分分別為1，2，3分，否則得0分，求A得分的期望的最大值及此時x，y，z的值．

Answer 1

分析：（1）A勝與B勝為對立事件，A勝分為三個基本事件：①A₁：“A、B均取紅球”；②A₂：“A、B均取白球”；③A₃：“A、B均取黃球”．由此能求出用x、y、z表示B勝的概率．
（2）由（1）知P(A)=

3x+2y+z

36

，又x+y+z=6，x≥0，y≥0，z≥0，于是P(A)=

3x+2y+z

36

=

12+x-z

36

≤

1

2

，由此能求出A在箱中只放6個紅球時，獲勝概率最大，其值為

1

2

．
（3）設(shè)A的得分為隨機(jī)變量ξ，則P(ξ=3)=

z

6

×

1

6

=

z

36

；P(ξ=2)=

y

6

×

2

6

=

2y

36

；P(ξ=1)=

x

6

×

3

6

=

3x

36

；P(ξ=0)=1-

3x+2y+z

36

，由此能求出A得分的期望的最大值及此時x，y，z的值．

解答：解：（1）顯然A勝與B勝為對立事件，
A勝分為三個基本事件：
①A₁：“A、B均取紅球”；
②A₂：“A、B均取白球”；
③A₃：“A、B均取黃球”．
∵P(A1)=

x

6

×

1

2

，P(A2)=

y

6

×

1

3

，P(A3)=

z

6

×

1

6

∴P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=

3x+2y+z

36

，
∴P(B)=1-

3x+2y+z

36

（2）由（1）知P(A)=

3x+2y+z

36

，
又x+y+z=6，x≥0，y≥0，z≥0，
于是P(A)=

3x+2y+z

36

=

12+x-z

36

≤

1

2

，
∴當(dāng)x=6，y=z=0，
即A在箱中只放6個紅球時，獲勝概率最大，其值為

1

2

．
（3）設(shè)A的得分為隨機(jī)變量ξ，
則P(ξ=3)=

z

6

×

1

6

=

z

36

；
P(ξ=2)=

y

6

×

2

6

=

2y

36

；
P(ξ=1)=

x

6

×

3

6

=

3x

36

；
P(ξ=0)=1-

3x+2y+z

36

，
∴Eξ=3×

z

36

+2×

2y

36

+1×

3x

36

+0=

1

2

+

y

36

，
∵x+y+z=6（x，y，z∈N），
∴y=6時，
Eξ取得最大值為

2

3

，
此時x=z=0．

點(diǎn)評：本題考查概率在生產(chǎn)實(shí)際中的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)，易錯點(diǎn)是知識體系不牢固．解題時要注意概率性質(zhì)和古典概型的特征的靈活運(yùn)用．