Question

設函數f（x）=

ex

1+ax

，其中a為正實數，若f（x）為R上的單調函數，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數單調性的性質

專題：導數的綜合應用

分析：求函數的導數，利用函數為單調函數，單調函數的f′（x）≥0或f'（x）≤0恒成立即可得到結論．

解答： 解：∵f（x）=

ex

1+ax

，
∴f′（x）=

ex(1+ax-axln?a)

(1+ax)2

，
要使f（x）為R上的單調函數，則f（x）為R上的單調增函數，或f（x）為R上的單調減函數；
①若f（x）為R上的單調增函數，
則f′（x）=

ex(1+ax-axln?a)

(1+ax)2

≥0恒成立，
即1+a^x-a^xlna≥0，
∴lna≤

1+ax

ax

=1+

1

ax

，
∴l(xiāng)na≤1，解得0＜a≤e；
②若若f（x）為R上的單調減函數，
則f′（x）=

ex(1+ax-axln?a)

(1+ax)2

≤0恒成立，
即1+a^x-a^xlna≤0，
∴l(xiāng)na≥

1+ax

ax

=1+

1

ax

，
此時不可能恒成立，
綜上0＜a≤e．

點評：本題主要考查導數和函數單調性之間的關系，考查學生的計算能力．