Question

空氣質(zhì)量指數(shù)（Air Quality Index，簡(jiǎn)稱AQI）是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，其數(shù)值越大說(shuō)明空氣污染狀況越嚴(yán)重，對(duì)人體健康的危害也就越大．根據(jù)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，指數(shù)在0-50之間時(shí)，空氣質(zhì)量為優(yōu)；在51-100之間時(shí)，空氣質(zhì)量為良；在101-150之間時(shí)，空氣質(zhì)量為輕度污染；在151-200之間時(shí)，空氣質(zhì)量為中度污染；在大于200時(shí)，空氣質(zhì)量為重度污染．環(huán)保部門對(duì)某市5月1日至5月15日空氣質(zhì)量指數(shù)預(yù)報(bào)如下表：

日  期	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
空氣質(zhì)量指數(shù)	75	56	26	156	230	163	88	210	206	201	78	98	105	97	93

某人選擇5月1日至5月13日某一天到達(dá)該市，并停留三天．
（Ⅰ）求此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率；
（Ⅱ）設(shè)X是此人停留期間空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）根據(jù)上表判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大（不要求計(jì)算，只寫出結(jié)果）．

Answer 1

考點(diǎn)：極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差,古典概型及其概率計(jì)算公式,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得空氣質(zhì)量為重度污染的天數(shù)，求出此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率；
（Ⅱ）列出此人在該市停留期間空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)統(tǒng)計(jì)表，計(jì)算隨機(jī)變量X的概率分布列，求出數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）由方差的概念得出從5月3日開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大．

解答： 解：（Ⅰ）記事件A為此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染，則由表中數(shù)據(jù)可得空氣質(zhì)量為重度污染的天數(shù)是3，
所以，此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率是P(A)=

4

13

；
（Ⅱ）此人在該市停留期間空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表：

到達(dá)日期	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)	3	2	1	0	1	1	1	0	1	2	2	2	2

所以隨機(jī)變量X的概率分布如下：

X	0	1	2	3
P	2 13	5 13	5 13	1 13

所以EX=0×

2

13

+1×

5

13

+2×

5

13

+3×

1

13

=

18

13

；
（Ⅲ）因?yàn)榉讲钍潜硎緮?shù)據(jù)波動(dòng)大小的量，數(shù)據(jù)波動(dòng)越大，方差就越大；
所以，從5月3日開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了概率統(tǒng)計(jì)的基本運(yùn)算以及求隨機(jī)變量的分布列問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，合理解答，是中檔題．