Question

（1）設(shè)n為不小于3的正整數(shù)，公差為1的等差數(shù)列a₁，a₂，…，a_n和首項(xiàng)為1的等比數(shù)列b₁，b₂，…，b_n滿足b₁＜a₁＜b₂＜a₂＜…＜b_n＜a_n，求正整數(shù)n的最大值；
（2）對(duì)任意給定的不小于3的正整數(shù)n，證明：存在正整數(shù)x，使得等差數(shù)列{a_n}：xⁿ+x^n-1-1，xⁿ+2x^n-1-1，…，xⁿ+nx^n-1-1和等比數(shù)列{b_n}：xⁿ，（1+x）x^n-1，…，x（1+x）^n-1滿足b₁＜a₁＜b₂＜a₂＜…＜b_n＜a_n．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì),等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知及等差與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得1＜a1＜b2＜a1+1＜b22＜a1+2＜b23＜a1+3＜b24＜…，求解b₂的范圍即可求解n
（2）先表示出am=xn+xn-1-1+(m-1)•xn-1，b_m=xn(1+

1

x

)m-1，結(jié)合已知不等關(guān)系可證明

解答： 解：（1）由已知可得，a_n=a₁+n-1，bn=b2n-1，1＜b2(+

1

x

)
依題意有1＜a1＜b2＜a1+1＜b22＜a1+2＜b23＜a1+3＜b24＜…（2分）
從而1＜b2＜2＜b22＜3＜b23＜4＜…
即1＜b₂＜2①，

2

＜b2＜

3

②，

3	3

＜b2＜

3	4

③，

2

＜b2＜

4	5

④，

5	5

＜b2＜

5	6

⑤，…，
由①②③④得，

3	3

＜b2＜

4	5

；因

5	6

＜

3	3

，所以由①②③④⑤得，b₂不存在了，從而正整數(shù)n的最大值為5；       …（6分）
（2）依題意，am=xn+xn-1-1+(m-1)•xn-1，b_m=xn(1+

1

x

)m-1，且m=1，2，…，n，
一方面，當(dāng)x∈N^*時(shí)，an＞xn，因此，an+1=an+xn-1＜an+

an

x

=an(1+

1

x

)，
結(jié)合a₁=b₂-1及{b_n}是公比1+

1

x

的等比數(shù)列可得，a2＜a1(1+

1

x

)＜b2(1+

1

x

)=b3，a3＜a2(1+

1

x

)＜b3(1+

1

x

)=b₄，…，
從而對(duì)任意的m=1，2，…，n-1，都有a_m＜b_m+1…（11分）
另一方面，因?yàn)閎_n＜a_n?xn(1+

1

x

) n-1＜xⁿ+x^n-1-1+（m-1）x^n-1
?x^n-m+1（1+x）^m-1＜xⁿ+mx^n-1-1m=1，2，…n，其中n為給定的不小于
3的正整數(shù)）?x（1+x）^n-1＜xⁿ+nx^n-1-1
?xn+(n-1)xn-1+

n(n-1)

2

xn-2+…+x＜xⁿ+nx^n-1-1?

n(n-1)

2

xn-2+x+1＜x^n-1（*）
顯然，（*）式左邊是關(guān)于x的n-2次式，右邊是關(guān)于x的n-1次式，
只要正整數(shù)x充分大，（*） 式即可成立，從而m=1，2，…，n時(shí)，都有b_n＜a_n．
綜上，必存在正整數(shù)x，滿足b1＜a1＜b 2＜a2＜…b_n＜a_n．      …（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的想通項(xiàng)公式及性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是具備較強(qiáng)的邏輯推理的能力