Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，前n項和為S_n且Sn+1=

3

2

Sn+1，(n∈N*)
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{

1

an

}的前n項和為T_n，求滿足不等式3T_n＞S_n的n值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知條件得到Sn的通項公式，再根據(jù)a_n=S_n-S_n-1得到{a_n}的通項公式；
（2）寫出{

1

an

}的通項公式，求出Tn，直接解不等式．

解答：解：（1）解法1：由Sn+1=

3

2

Sn+1得當(dāng)n≥2時Sn=

3

2

Sn-1+1，
∴Sn+1-Sn=

3

2

(Sn-Sn-1)即an+1=

3

2

an∴

an+1

an

=

3

2

，
又a₁=1，得S2=

3

2

a1+1=a1+a2∴a2=

3

2

∴

a2

a1

=

3

2

，
∴數(shù)列a_n是首項為1，公比為

3

2

的等比數(shù)列∴an=(

3

2

)n-1，
解法2：由Sn+1=

3

2

Sn+1得Sn+1+2=

3

2

(Sn+2)，
即

Sn+1+2

Sn+2

=

3

2

∴數(shù)列S_n+2是首項為S₁+2=3，公比為

3

2

的等比數(shù)列，
∴Sn+2=3•(

3

2

)n-1即Sn=3•(

3

2

)n-1-2，
當(dāng)n≥2時∴a_n=S_n-S_n-1=3•(

3

2

)n-1-2-[3•(

3

2

)n-2-2]=(

3

2

)n-1，
顯然當(dāng)n=1時上式也成立∴an=(

3

2

)n-1．
（2）∵z數(shù)列a_n是首項為1，公比為

3

2

的等比數(shù)列，
∴數(shù)列{

1

an

}是首項為1，公比為

2

3

的等比數(shù)列--（8分）∴Tn=

1-( 2 3 )n

1- 2 3

=3[1-(

2

3

)n]，
又∵Sn=2•(

3

2

)n-2∴不等式3T_n＞S_n即9[1-(

2

3

)n]＞2•(

3

2

)n-2
令(

2

3

)n=m并整理得9m²-11m+2＜0，解得

2

9

＜m＜1
即

2

9

＜(

2

3

)n＜1，將n=1，2，3代入都符合，又(

2

3

)4=

16

81

＜

2

9

且函數(shù)y=(

2

3

)x在R上為減函數(shù)，故當(dāng)n≥4時都有(

2

3

)n＜

2

9

∴滿足不等式3T_n＞S_n的n值為：1，2，3．

點評：本題考查了數(shù)列的通項公式的求法以及數(shù)列的求和，還考查了不等式的解法，屬于綜合題型．