Question

已知函數(shù)f（x）是定義域在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）=x（1-x），則f（x）的單調遞增區(qū)間是

 

．

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質求出函數(shù)f（x）的解析式，即可得到結論．

解答： 解：若x＜0，則-x＞0，
∵當x≥0時，f（x）=x（1-x），
∴當-x＞0時，f（-x）=-x（1+x），
∵函數(shù)f（x）是定義域在R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-x（1+x）=-f（x），
即f（x）=x（1+x），x＜0，
當x≥0時，f（x）=x（1-x）=-x²+x=-（x-

1

2

）²+

1

4

，此時函數(shù)的遞增區(qū)間為[0，

1

2

]，
當x＜0時，f（x）=x（1+x）=x²+x=（x+

1

2

）²-

1

4

，此時函數(shù)的遞增區(qū)間為[-

1

2

，0），
綜上函數(shù)的遞增區(qū)間為[-

1

2

，

1

2

]．
故答案為：[-

1

2

，

1

2

]

點評：本題主要考查函數(shù)單調遞增區(qū)間的求解，利用函數(shù)奇偶性的性質求出函數(shù)的解析式，以及二次函數(shù)的性質是解決本題的關鍵．