Question

8．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，a_n≠0，2a_n•a_n+1=tS_n-2，其中t為常數．
（Ⅰ）設b_n=a_n+1+a_n，求證：{b_n}為等差數列；
（Ⅱ）若t=4，求S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用2a_n•a_n+1=tS_n-2，將條件變形，利用等比數列的定義證明是常數．
（Ⅱ）利用條件，由（ I）可得a_n+2-a_n=2，即數列{a_n}的奇數項和偶數項分別為公差為2的等差數列，根據等差數列的求和公式，分類求出即可．

解答 解：（I）證明：2a_na_n+1=tS_n-2①，2a_n+1a_n+2=tS_n+1-2②，
②-①可得2a_n+1（a_n+2-a_n）=tS_n+1-tS_n=ta_n+1
因為a_n+1≠0，所以${a_{n+2}}-{a_n}=\frac{t}{2}$，
${b_{n+1}}-{b_n}=（{a_{n+2}}+{a_{n+1}}）-（{a_{n+1}}+{a_n}）={a_{n+2}}-{a_n}=\frac{t}{2}$，
因為t為常數，所以數列{b_n}為等差數列．
（II）若t=4，由（I）可得a_n+2-a_n=2
即數列{a_n}的奇數項和偶數項分別為公差為2的等差數列，
由a₁=1，可得a₂=2a₁-1=1，
當n為奇數時，{a_n}的奇數項和偶數項分別為$\frac{n+1}{2}，\frac{n-1}{2}$項
所以${S_n}=[\frac{n+1}{2}+\frac{n+1}{2}（\frac{n+1}{2}-1）]+[\frac{n-1}{2}+\frac{n-1}{2}（\frac{n-1}{2}-1）]=\frac{{{n^2}+1}}{2}$，
當n為偶數時，{a_n}的奇數項和偶數項分別為$\frac{n}{2}，\frac{n}{2}$項
所以${S_n}=[\frac{n}{2}+\frac{n}{2}（\frac{n}{2}-1）]×2={\frac{n}{2}^2}$，
綜上，${S_n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{n^2}+1}}{2}^{\;}}，n為奇數\\ \frac{n^2}{2}\;\;，n為偶數\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查等差數列和等比數列的性質和運算，以及等比數列和等差數列的通項公式和求和公式．考查學生的運算能力．