Question

如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M，N分別是PA，BC的中點，且PD＝AD＝1．

（Ⅰ）求證：MN∥平面PCD；

（Ⅱ）求證：平面PAC⊥平面PBD．

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）取中點，作輔助線，先利用面面平行的判定定理證得面面平行，再利用面面平行的性質得出線面平行；（2）利用面面垂直的判定定理進行證明.

試題解析：（Ⅰ）證明 取AD中點E，連接ME，NE，由已知M，N分別是PA，BC的中點，所以ME∥PD，NE∥CD，

又ME，NE?平面MNE，ME∩NE＝E，

所以平面MNE∥平面PCD，

所以MN∥平面PCD．

（Ⅱ）證明 因為ABCD為正方形，

所以AC⊥BD， 又PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AC，

所以AC⊥平面PBD，

所以平面PAC⊥平面PBD.

考點：1.空間中的平行關系；2.空間中的垂直關系.