Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，四邊形ADEF為梯形，AD∥FE，∠AFE=60°，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF=FE=AB=

1

2

AD=2，點G為AC的中點．
（Ⅰ）求證：EG∥平面ABF；
（Ⅱ）求三棱錐B-AEG的體積；
（Ⅲ）試判斷平面BAE與平面DCE是否垂直？若垂直，請證明；若不垂直，請說明理由．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的性質(zhì),棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：

分析：（Ⅰ）取AB中點M，連接MG，則EF∥MG，①即得證．
（Ⅱ）轉(zhuǎn)換三棱錐B-AEG為E-ABG即可求得體積．
（Ⅲ）只要證明AE⊥CDE即可．

解答： （I）證明：取AB中點M，連FM，GM．
∵G為對角線AC的中點，
∴GM∥AD，且GM=

1

2

AD，
又∵FE∥

1

2

AD，
∴GM∥FE且GM=FE．
∴四邊形GMFE為平行四邊形，即EG∥FM．
又∵EG?平面ABF，F(xiàn)M?平面ABF，
∴EG∥平面ABF．…（4分）
（Ⅱ）解：作EN⊥AD，垂足為N，
由平面ABCD⊥平面AFED，面ABCD∩面AFED=AD，
得EN⊥平面ABCD，即EN為三棱錐E-ABG的高．
∵在△AEF中，AF=FE，∠AFE=60°，
∴△AEF是正三角形．
∴∠AEF=60°，
由EF∥AD知∠EAD=60°，
∴EN=AE?sin60°=

3

．
∴三棱錐B-AEG的體積為VB-AEG=VE-ABG=

1

3

S△ABG•EN=

1

3

×

1

2

×2×2×

3

=

2 3

3

．…（8分）
（Ⅲ）解：平面BAE⊥平面DCE．證明如下：
∵四邊形ABCD為矩形，且平面ABCD⊥平面AFED，
∴CD⊥平面AFED，
∴CD⊥AE．
∵四邊形AFED為梯形，F(xiàn)E∥AD，且∠AFE=60°，
∴∠FAD=120°．
又在△AED中，EA=2，AD=4，∠EAD=60°，
由余弦定理，得ED=2

3

．
∴EA²+ED²=AD²，
∴ED⊥AE．
又∵ED∩CD=D，
∴AE⊥平面DCE，
又AE?面BAE，
∴平面BAE⊥平面DCE．   …（12分）

點評：本題考查了線面平行的判定，借助體積的計算考查了線面垂直以及面面垂直的判定和性質(zhì)．