【題目】如圖,四棱錐的底面是平行四邊形,側(cè)面是邊長為2的正三角形, , .
(1)求證:平面平面;
(2)設(shè)是棱上的點(diǎn),當(dāng)平面時(shí),求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2) .
【解析】試題分析:
(1)由題意可證得平面,利用面面垂直的判斷定理即可證得平面平面.
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,結(jié)合平面的法向量和題意可得二面角的余弦值是.
試題解析:
(1)取中點(diǎn),連接, ,因?yàn)?/span>是邊長為2的正三角形,所以, ,
∵,∴, ,
∴,
∴,∴平面,
∵平面,∴平面平面.
(2)連接交于,連接,
∵平面,∴,
又為的中點(diǎn),∴為的中點(diǎn).
以為原點(diǎn),分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則, , , , , .
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,
由得取,得.
由圖可知,平面的一個(gè)法向量,
∴,
∴二面角的余弦值為.
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② .
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