Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=x2ex
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若x∈[﹣2，2]時，不等式f（x）＜m恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=x（x+2）ex，

令f′（x）＞0，解得：x＜﹣2或x＞0，

令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜0，

∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，﹣2）和（0，+∞），遞減區(qū)間為[﹣2，0]．

（2）解：

x	﹣2	（﹣2，0）	0	（0，2）	2
f′（x）			0	+
f（x）		單減	極小值0	單增	4e2

因此x∈[﹣2，2]，f（x）的最大值是4e2，

∵x∈[﹣2，2]時，不等式f（x）＜m恒成立，

∴m＞4e2

【解析】（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出其單調(diào)區(qū)間即可；（2）先求出f（x）在[﹣1，2]上的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最大值，即可求m的取值范圍．
【考點精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．