Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線C的頂點在原點，經(jīng)過點A（1，2）其焦點F在x軸上．
（Ⅰ）求拋物線C的標準方程；
（Ⅱ）求過點F和OA的中點的直線的方程；
（Ⅲ）設點P（-1，m），過點F的直線交拋物線C于B、D兩點，記PB，PF，PD的斜率分別為k₁，k₂，k₃，求證：k₁+k₃=2k₂．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由題意可設拋物線的方程為：y²=2px，（p＞0），由已知得4=2p，由此能求出拋物線C的標準方程．
（Ⅱ）由（1）知：F（1，0），OA的中點M的坐標為（

1

2

，1），由此能求出直線FM的方程．
（Ⅲ）當直線的斜率不存在時，F(xiàn)（1，0），B（1，2），D（1，-2），k₁+k₃=2k₂；當直線的斜率存在時，設直線的方程為y=k（x-1），設B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由已知條件推導出k1+k3=2k-(2k+m)(

1

x1+1

+

1

x2+1

)
=2k-（2k+m）-

x1+x2+2

x1x2+x1+x2+1

，由此能證明k₁+k₃=2k₂．

解答： （Ⅰ）解：由題意可設拋物線的方程為：y²=2px，（p＞0），
因為拋物線經(jīng)過點A（1，2），所以4=2p，解得：p=2，
則拋物線C的標準方程是：y²=4x．…（3分）
（Ⅱ）解：由（1）知：F（1，0），OA的中點M的坐標為（

1

2

，1），
則k_FM=

1-0

1 2 -1

=-2，
所以直線FM的方程是：2x+y-2=0．…（6分）
（Ⅲ）證明：當直 線的斜率不存在時，則F（1，0），B（1，2），D（1，-2），
所以k1=

2-m

2

，k2=-

m

2

，k3=

-2-m

2

，
則k₁+k₃=2k₂，…（8分）
當直線的斜率存在時，設為k，則直線的方程為y=k（x-1），
設B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
則k1=

y1-m

x1+1

=

k(x1-1)-m

x1+1

=k-

2k+m

x1+1

，
同理可得：k3=k-

2k+m

x2+1

，
所以k1+k3=2k-(2k+m)(

1

x1+1

+

1

x2+1

)
=2k-（2k+m）-

x1+x2+2

x1x2+x1+x2+1

，…（12分）
由方程組

x2 4 + y2 16 =1 y=k(x-1)

，消去y，并整理得：k²x²-2（k²+2）x+k²=0，
所以x₁x₂=1，…（14分）
則k₁+k₃=2k-（2k+m）×1=-m，
又k2=-

m

2

，所以k₁+k₃=2k₂，
綜上所述：k₁+k₃=2k₂．…（16分）

點評：本題考查拋物線C的標準方程的求法，考查直線的方程的求法，考查k₁+k₃=2k₂的證明，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．