Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱垂直于底面，AB⊥BC，AA₁=AC=2，E、F分別為A₁C₁、BC的中點．
（1）求證：AB⊥平面B₁BCC₁；
（2）求證：C₁F∥平面ABE．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（1）運用線面垂直的性質定理和判定定理，即可得證；
（2）可通過線面平行的判定定理和面面平行的性質定理，即可得證．

解答： （1）證明：在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱BB₁垂直于底面ABC，
所以BB₁⊥AB，又AB⊥BC，BB₁∩BC=B，
則有AB⊥平面B₁BCC₁；
（2）證法一、取AB中點G，連接EG，F(xiàn)G，
由于E、F分別為A₁C₁、BC的中點，所以FG∥AC，F(xiàn)G=

1

2

AC，
因為AC∥A₁C₁，且AC=A₁C₁，所以FG∥EC₁，且FG=EC₁，
所以四邊形FGEC₁為平行四邊形，所以C₁F∥EG，
又因為EG?平面ABE，C₁F?平面ABE，
所以C₁F∥平面ABE；
證法二、取AC中點H，連接FH和C₁H，
因為F，H分別是BC，AC的中點，
所以HF∥AB，HF?平面ABE，AB?ABE，
所以HF∥平面ABE，
又由AE∥C₁H，也可得到C₁H∥平面ABE，
又C₁H∩HF=H，所以平面C₁HF∥平面ABE，
因為C₁F?平面C₁HF，所以C₁F∥平面ABE．

點評：本題考查空間直線與平面的位置關系，考查線面垂直的判定和性質、線面平行和面面平行的判定和性質的運用，考查推理能力，屬于中檔題．