Question

（2012•盧灣區(qū)一模）已知

a

、

b

是兩個不共線的非零向量．
（1）設

OA

=

a

，

OB

=t

b

（t∈R），

OC

=

1

3

(

a

+

b

)，當A、B、C三點共線時，求t的值．
（2）如圖，若

a

=

OD

，

b

=

OE

，

a

與

b

夾角為120°，|

a

|=|

b

|=1，點P是以O為圓心的圓弧

DE

上一動點，設

OP

=x

OD

+y

OE

（x，y∈R），求x+y的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用向量共線定理，及已知向量建立等式，利用平面向量基本定理，即可得到結論；
（2）建立坐標系，用三角函數(shù)確定x+y，再利用輔助角公式，即可得到結論．

解答：解：（1）由題意，A、B、C三點共線，可設

AB

=k

BC

，（2分）
∵

OA

=

a

，

OB

=t

b

（t∈R），

OC

=

1

3

(

a

+

b

)，
∴

AB

=t

b

-

a

，

BC

=

1

3

a

+(

1

3

-t)

b

，
∴t

b

-

a

=

k

3

a

+k(

1

3

-t)

b

∴k=-3，t=

1

2

．（6分）
（2）以O為原點，OD為x軸建立直角坐標系，則D（1，0），E（-

1

2

，

3

2

）．
設∠POD=α（0≤α≤

2

3

π），則P（cosα，sinα），由

OP

=x

OD

+y

OE

，得cosα=x-

1

2

y，sinα=

3

2

y，于是y=

2

3

sinα，x=cosα+

1

3

sinα，（10分）
于是x+y=cosα+

3

sinα=2sin（α+

π

6

），
故當α=

π

3

時，x+y的最大值為2．（14分）

點評：本題考查向量知識的綜合運用，考查三角函數(shù)知識，解題的關鍵是掌握向量共線定理，正確運用三角函數(shù)知識，屬于中檔題．