Question

某種商品定價為每件60元，不加收附加稅時每年大約銷售80萬件，若政府征收附加稅，每銷售100元要征稅p元（即稅率為p%），因此每年銷售量將減少

20

3

p萬件．
（1）將政府每年對該商品征收的總稅金y（萬元），表示成p的函數，并指出這個函數的定義域；
（2）要使政府在此項經營中每年收取的稅金不少于128萬元，問稅率p%應怎樣確定？
（3）在所收稅金不少于128萬元的前提下，要讓廠家獲得最大銷售金額，則應如何確定p值？

Answer 1

分析：（1）求出該商品年銷售量，可得年銷售收入，進而可得政府每年對該商品征收的總稅金，并可以確定函數的定義域；
（2）根據政府在此項經營中每年收取的稅金不少于128萬元，建立不等式，即可求得稅率；
（3）當政府收取的稅金不少于128萬元時，廠家的銷售收入為g（p）=60×（80-

20

3

p）（4≤p≤8），根據函數的單調性，即可得到結論．

解答：解：（1）由題意，該商品年銷售量為（80-

20

3

p）萬件，年銷售收入為60×（80-

20

3

p）萬元，
故所求函數為y=60•（80-

20

3

p）•p%．
由80-

20

3

p＞0，且p＞0得，定義域為（0，12）．
（2）由y≥128，得60×（80-

20

3

p）•p%≥128，化簡得p²-12p+32≤0，
∴（p-4）（p-8）≤0，
∴4≤p≤8．
故當稅率在[4%，8%]內時，政府收取稅金將不少于128萬元．
（3）當政府收取的稅金不少于128萬元時，廠家的銷售收入為g（p）=60×（80-

20

3

p）（4≤p≤8）．
∴g（p）為減函數，
∴[g（p）]_max=g（4）=3200（萬元）．

點評：本題考查函數模型的構建，考查解不等式，考查函數的單調性，確定函數模型是關鍵．