Question

【題目】已知定義在R上的函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)都滿足，且當(dāng)時(shí)，．

（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明；

（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明；

（3）解不等式．

Answer 1

【答案】（1）為奇函數(shù)．證明見(jiàn)解析（2）在R上為增函數(shù)．證明見(jiàn)解析（3）當(dāng)時(shí)不等式的解集是．當(dāng)時(shí)不等式的解集是．當(dāng)時(shí)不等式的解集是．

【解析】

（1）用賦值法求出，然后令可得奇偶性；

（2）利用單調(diào)性的定義證明單調(diào)性；

（3）由奇函數(shù)性質(zhì)化不等式為，由單調(diào)性轉(zhuǎn)化為二次不等式，再分類(lèi)得出解集．

（1）解：為奇函數(shù)．

證明：因?yàn)?/span>，令，

得對(duì)任意的都成立，所以．

又令，則，

所以，所以是奇函數(shù)．

（2）解：在R上為增函數(shù)．

證明：，且使由是奇函數(shù)，

得．

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，

而，所以，

所以，所以在R上為增函數(shù)．

（3）解：由，得．

因?yàn)?/span>是奇函數(shù)，所以．

又在R上為增函數(shù)，所以．

即，所以．

所以當(dāng)時(shí)不等式的解集是．

當(dāng)時(shí)不等式的解集是．

當(dāng)時(shí)不等式的解集是．