Question

（本小題滿分14分）已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓上的點到
兩個焦點的距離之和為，離心率.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓的左、右焦點分別為、，過點的直線與該橢圓交于點、,
以、為鄰邊作平行四邊形，求該平行四邊形對角線的長度
的最大值.

Answer 1

20．解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為,由已知得,
,從而橢圓方程為.    ----------------------------  4´
（Ⅱ）由上知.             -- ---------------------------------------------- 5´ 
①若直線的斜率不存在，則直線的方程為，將代入橢圓得.
由對稱性，不妨設(shè)，則，
從而  ------------------------------------------------------------------------- 7´
②若直線的斜率存在，設(shè)斜率為，則直線的方程為.
設(shè)，由 消去得，
， -       - ---------------------------------------- 9´
則，  ------------------------ 10´
又由得，
.
從而-  -------------------------------- -------------------------------------- 13´
綜上知，平行四邊形對角線的長度的最大值是4. -  ---------------------------- 14´

略