Question

已知函數(shù)y=x²+（2m+1）x+m²-1（m為實(shí)數(shù)）
（1）m是什么數(shù)值時(shí)，y的極值是0？
（2）求證：不論m是什么數(shù)值，函數(shù)圖象（即拋物線）的頂點(diǎn)都在同一條直線L₁上．

Answer 1

分析：（1）二次函數(shù)研究極值問題，可利用配方法研究極值，根據(jù)y的極值是0建立等量關(guān)系．
（2）先求出函數(shù)圖象拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)消取參數(shù)m即可得頂點(diǎn)軌跡，再進(jìn)一步驗(yàn)證即可．

解答：解：（1）用配方法得：y=(x+

2m+1

2

)2-

4m+5

4

∴的極小值為-

4m+5

4

．所以當(dāng)極值為0時(shí)，4m+5=0，m=-

5

4

（2）函數(shù)圖象拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-

2m+1

2

，-

4m+5

4

)
即x=-

2m+1

2

=-m-

1

2

，y=-

4m+5

4

=-m-

5

4

，
二式相減得：-y=

3

4

，此即各拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的方程它的圖象是一條直線，方程中不含m，因此，不論m是什么值，拋物線的頂點(diǎn)都在這條直線上．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及拋物線的應(yīng)用，屬于中檔題．