已知ABCD是正方形,直線AE⊥平面ABCD,且AB=AE=1,
(1)求異面直線AC,DE所成的角;
(2)求二面角A-CE-D的大;
(3)設P為棱DE的中點,在△ABE的內(nèi)部或邊上是否存在一點H,使PH⊥平面ACE?若存在,求出點H的位置;若不存在,說明理由.
分析:(1)建立空間直角坐標系,利用向量坐標運算求向量的夾角的余弦值,再求異面直線所成的角;
(2)先求出兩個平面的法向量,再利用向量坐標運算求二面角的余弦值,可求得二面角;
(3)假設在平面ABE內(nèi)存在點H,設H(m,0,n),
PH
=(m,-
1
2
,n-
1
2
),再根據(jù)PH⊥平面ACE,確定m、n的值,根據(jù)
PH
的坐標表示確定H的位置.
解答:解:(1)建立空間直角坐標系如圖:

∵AB=AE=1,四邊形ABCD為正方形,∴A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),E(0,0,1).
AC
=(1,1,0),
DE
=(0,-1,1),
cos
AC
DE
=
-1
2
×
2
=-
1
2
,
故異面直線AC,DE所成的角為
π
3
;
(2)取DE的中點P,則P(0,
1
2
,
1
2
),連接AP,∵直線AE⊥平面ABCD,∴AE⊥CD,又四邊形ABCD為正方形,CD⊥AD,
∴AP⊥平面CDE,∴
AP
為平面CDE的法向量;
∵BD⊥AC,AE⊥BD,∴BD⊥平面ACE,∴
BD
為平面ACE的法向量,
AP
=(0,
1
2
,
1
2
),
BD
=(-1,1,0),
cos
AP
,
BD
=
1
2
2
2
×
2
=
1
2

故二面角A-CE-D為
π
3

(3)假設在平面ABE內(nèi)存在點H,設H(m,0,n),
PH
=(m,-
1
2
,n-
1
2
),
∵PH⊥平面ACE,AC?平面ACE,
∴PH⊥AC,PH⊥AE,∴
PH
AC
=m-
1
2
=0⇒m=
1
2
PH
AE
=n-
1
2
⇒n=
1
2
,
即H(
1
2
,0,
1
2
),∵
BH
=
1
2
BE
,H為B、E的中點.
故存在點H,H為B、E的中點,滿足條件.
點評:本題考查利用向量坐標運算,求異面直線所成的角,求二面角,解決存在性問題,解題的關鍵合理建立空間直角坐標系.
練習冊系列答案
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(12分)如圖所示,已知ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,

PD=AD=2.

  (1)求異面直線PC與BD所成的角;

  (2)在線段PB上是否存在一點E,使PC⊥平面ADE?

        若存在,確定E點的位置;若不存在,說明理由.

 

 

 

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