Question

已知頂點(diǎn)為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，其內(nèi)接△ABC的重心是焦點(diǎn)F，若直線BC的方程為4x+y-20=0．
（1）求拋物線方程；
（2）軸上是否存在定點(diǎn)M，使過(guò)M的動(dòng)直線與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，滿足∠POQ=90°？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)拋物線方程為y²=4px，然后表示出焦點(diǎn)坐標(biāo)，拋物線和直線方程聯(lián)立可消去y得到4x²-（p+40）x+100=0，進(jìn)而可得到B，C的橫坐標(biāo)之和與縱坐標(biāo)之和，再由A點(diǎn)在拋物線上得到坐標(biāo)滿足拋物線方程，最后將A，B，C的坐標(biāo)代入△ABC重心坐標(biāo)公式可求得p的值，從而確定拋物線方程．
（2）先設(shè)點(diǎn)M、P、Q的坐標(biāo)：
①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)構(gòu)造向量

OQ

、

OP

，然后根據(jù)∠POQ=90°得到兩向量的數(shù)量積等于0可得到M的坐標(biāo)；
②當(dāng)斜率存在時(shí)，構(gòu)造直線方程然后與拋物線聯(lián)立消去x，可以得到兩根之和、兩根之積，同樣構(gòu)造向量

OQ

、

OP

，然后根據(jù)∠POQ=90°得到兩向量的數(shù)量積等于0，可得到M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的方程為y²=4px，則其焦點(diǎn)為（p，0）
與直線方程4x+y-20=0聯(lián)立，有：（-4x+20）²=4px
∴4x²-（p+40）x+100=0，且y=-4x+20
該方程的解為B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)（x₂，y₂），（x₃，y₃）
x₂+x₃=

p+40

4

（1）
y₂+y₃=-4（x₂+x₃）+40=-p （2）
設(shè)A（x₁，y₁）
∵A在拋物線上
∴y₁²=4px₁（3）
△ABC重心坐標(biāo)為：（

x1+x2+x3

3

，

y1+y2+y3

3

）
∵重心為拋物線焦點(diǎn)
∴

x1+x2+x3

3

=p，

y1+y2+y3

3

=0
將（1），（2）代入，得：
x₁+

p+40

4

=3p，y₁-p=0
與（3）聯(lián)立，三個(gè)方程，x₁，y₁，p三個(gè)未知數(shù)，可解
解得：p=4
故拋物線的方程為y²=16x．
（2）設(shè)點(diǎn)M（a，b）  P（x₄，y₄）  Q（x₅，y₅）
①當(dāng)直線L的斜率不存在時(shí)   即  x₄=x₅=a   且 a＞0
則：令  y₄=4

a

，y₅=-4

a

∵∠POQ=90°∵

OQ

=（a，-4

a

），

OP

=（a，4

a

）
∴

OQ

•

OP

=a²-16a=0
解得：a=16   或  a=0（舍去）
②當(dāng)直線L的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，則直線L的方程為：
y-b=k（x-a） （k≠0）
∴聯(lián)立方程：

y-b=k(x-a) y2=16x

消去 x 得：ky²-16y+16b-16ka=0
∴y₄+y₅=

16

k

，y₄•y₅=

16b-16ka

k

∴x₄•x₅=

(ka-b)2

k2

∵∠POQ=90°
∴

OQ

•

OP

=x₄•x₅+y₄•y₅=

16b-16ka

k

+

(ka-b)2

k2

=0
即：k²（a²-16a）+k（16b-2ab）+b²=0對(duì)任意的k≠0都恒成立
∴有方程組：

a2-16a=0 16b-2ab=0 b2=0

且a≠0
∴解得：a=16，b=0
∴點(diǎn)M（16，0）
綜上所述：存在定點(diǎn)M，使得以線段PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，
點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（16，0）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與拋物線的聯(lián)立問(wèn)題．直線與圓錐曲線的聯(lián)立是高考考查圓錐曲線的一種典型題型，一般作為壓軸題出現(xiàn)．