Question

在△ABC中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，tan

A+B

2

+tan

C

2

=4，2sinBcosC=sinA．
（1）求角A的大小；
（2）若S_△ABC=

3

，求邊a的大小．

Answer 1

考點：正弦定理,三角函數中的恒等變換應用

專題：解三角形

分析：（1）把tan

A+B

2

+tan

C

2

=4轉化成正弦和余弦的關系式，求得sinC的值，進而求得C，整理2sinBcosC=sinA可求得sin（B-C）=0，判斷出B=C，進而求得A．
（2）利用正弦定理求得b的表達式，代入三角形面積公式求得答案．

解答： 解：∵tan

A+B

2

+tan

C

2

=4，
∴

cos C 2

sin C 2

+

sin C 2

cos C 2

=4，
∴

1

sin C 2 cos C 2

=4，
∴sinC=

1

2

，
∵C∈（0，π），
∴C=

π

6

或

5π

6

∵2sinBcosC=sinA
∴2sinBcosC=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∴sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0，
∴C=B=

π

6

，
∵A=π-C-B=

2π

3

，．
（2）∵

a

sinA

=

b

sinB

，
∴b=

a

sinA

•sinB=

3

3

a，
∵C=B
∴c=b
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×

3

3

a×

3

3

a×

3

2

=

3

12

a2=

3

，
∴a=2

3

．

點評：本題主要考查了正弦定理的運用，三角形恒等變換的應用．要充分利用好已知條件，必須是先化簡再求值．