已知向量
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ）．
（1）當(dāng)α=
5π
6
，β=-
π
2
時(shí)，求
a
•
b
的值．
（2）已知
a
•
b
=
1
3
，cosα=
1
7
，0＜β＜α＜
π
2
，求sinβ的值．
分析：（1）化簡(jiǎn)
a
•
b
的解析式為
cos(α-β)
，再把條件代入運(yùn)算求得結(jié)果．
（2）根據(jù)αβ的范圍以及
a
•
b
=
1
3
求得cos（α-β）=
1
3
，從而求得sin(α-β)=
2
2
3
，根據(jù)sinβ=sin[α-（α-β）]，利用兩角差的正弦公式求得sinβ的值．
解答：解：（1）當(dāng)α=
5π
6
，β=-
π
2
時(shí)，
a
•
b
=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)
 
=cos[
5π
6
-(-
π
2
)]=-sin
5π
6
=-
1
2
． …..（4分）
（2）因?yàn)椋?span id="ujbr5k9" class="MathJye">0＜β＜α＜
π
2
，∴0＜α-β＜
π
2
，
a
•
b
=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)=
1
3
，
所以，sin(α-β)=
1-cos2(α-β)
=
2
2
3
，（6分）
因?yàn)?cosα=
1
7
，0＜α＜
π
2
，∴sinα=
1-sin2α
=
4
3
7
．（8分）
故 sinβ=sin[α-（α-β）]=sinαcos（α-β）-cosαsin（α-β）…（10分）
=
4
3
7
•
1
3
-
1
7
•
2
2
3
=
4
3
-2
2
21
．…..（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，本題主要考查兩角和的正弦公式以及角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=（cosα，1），
b
=（-2，sinα），α∈(π，
3π
2
)，且
a
⊥
b

（1）求sinα的值；
（2）求tan(α+
π
4
)的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=（cos（-θ），sin（-θ）），
b
=(cos(
π
2
-θ)，sin(
π
2
-θ))．
（1）求證：
a
⊥
b
．
（2）若存在不等于0的實(shí)數(shù)k和t，使
x
=
a
+（t2+3）
b
，
y
=（-k
a
+t
b
），滿足
x
⊥
y
，試求此時(shí)
k+t2
t
的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]，向量
b
=（
3
，1），b=(
3
，1)，
a
∥
b
，則θ=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=（cosα，sinα），
b
=（sinβ，-cosβ），則|
a
+
b
|最大值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=（cosθ，sinθ），向量
b
=（2
2
，-1），則|3
a
-
b
|的最大值是
 
．

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