【題目】如圖,在六面體中,平面
平面
,
平面
,
,
,
.且
,
.
(1)求證:平面
;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】
(1) 取中點
,連接
、
,通過證明
為平行四邊形,可證
,且
,通過證明
為平行四邊形,可證
,根據(jù)直線與平面平行的判定定理可證
面
;
(2) 以為坐標原點,以
所在直線為
軸,以
所在直線為
軸,以
所在直線為
軸,建立空間直角坐標系后,利用平面的法向量可求得結(jié)果.
(1)取中點
,連接
、
,
如圖所示:
∵,
為
中點,
,
∴,
又∵,
∴為平行四邊形,
∴,且
,
∵面面
,且面
面
,面
面
,
∴,
又∵,
且
,
∴,且
,
∴為平行四邊形,
∴,
又∵面
,
面
,
∴面
.
(2)以為坐標原點,以
所在直線為
軸,以
所在直線為
軸,以
所在直線為
軸,建立如圖所示空間直角坐標系,
則,
,
,
.
設(shè)平面的法向量為
,
∵,
,
∴,
∴,
∴,
同理,面的法向量
,
∴.
二面角的余弦為
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某教育部門為了了解某地區(qū)高中學生校外補課的情況,隨機抽取了該地區(qū)100名學生進行調(diào)查,其中女生50人,將周補課時間不低于4小時的學生稱為“補課迷”.已知“補課迷”中有10名女生,右邊是根據(jù)調(diào)查樣本結(jié)果繪制的學生校外周補課時間的頻率分布直方圖(時間單位為:小時).
(1)根據(jù)調(diào)查樣本的結(jié)果估計該地區(qū)高中學生每周課外補課的平均時間(說明:同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值作代表);
(2)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,根據(jù)調(diào)查資料你是否有
的把握認為“補課迷”與性別有關(guān)?
非補課迷 | 補課迷 | 合計 | |
男 | |||
女 | |||
合計 |
(3)將周補課時間不低于8小時者稱為“超級補課迷”,已知調(diào)查樣本中,有2名“超級補課迷”是女生,若從“超級補課迷”中任意選取3人,求至多有1名女學生的概率.
附:.
0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】給出下列四個命題:
若
為
的極值點,則
”的逆命題為真命題;
“平面向量
,
的夾角是鈍角”的充分不必要條件是
;
若命題
,則
;
命題“
,使得
”的否定是:“
,均有
”.其中不正確的個數(shù)是
A. 3B. 2C. 1D. 0
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面
是邊長為2的菱形,
,
,平面
平面
,點
為棱
的中點.
(Ⅰ)在棱上是否存在一點
,使得
平面
,并說明理由;
(Ⅱ)當二面角的余弦值為
時,求直線
與平面
所成的角.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知在中,
,
,點
在拋物線
上.
(1)求的邊
所在的直線方程;
(2)求的面積最小值,并求出此時點
的坐標;
(3)若為線段
上的任意一點,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】極坐標系與直角坐標系有相同的長度單位,以原點
為極點,以
軸正半軸為極軸.已知曲線
的極坐標方程為
,曲線
的極坐標方程為
,射線
,
,
,
與曲線
分別交異于極點
的四點
,
,
,
.
()若曲線
關(guān)于曲線
對稱,求
的值,并把曲線
和
化成直角坐標方程.
()求
,當
時,求
的值域.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,已知直線的方程為
,
.
(1)若直線在
軸、
軸上的截距之和為-1,求坐標原點
到直線
的距離;
(2)若直線與直線
:
和
:
分別相交于
、
兩點,點
到
、
兩點的距離相等,求
的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某部門在同一上班高峰時段對甲、乙兩地鐵站各隨機抽取了50名乘客,統(tǒng)計其乘車等待時間(指乘客從進站口到乘上車的時間,乘車等待時間不超過40分鐘).將統(tǒng)計數(shù)據(jù)按分組,制成頻率分布直方圖:
假設(shè)乘客乘車等待時間相互獨立.
(1)在上班高峰時段,從甲站的乘客中隨機抽取1人,記為;從乙站的乘客中隨機抽取1人,記為
.用頻率估計概率,求“乘客
,
乘車等待時間都小于20分鐘”的概率;
(2)從上班高峰時段,從乙站乘車的乘客中隨機抽取3人,表示乘車等待時間小于20分鐘的人數(shù),用頻率估計概率,求隨機變量
的分布列與數(shù)學期望.
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