若線段P1P2為拋物線C：y2=2px(p＞0)的一條焦點弦，F為C的焦點，求證：。

答案：
解析：

證法一：∵F(,0)，若過F的直線即線段P1P2所在直線斜率不存在時，則有|P1F|=|P2F|=p。

∴

若線段P1P2所在直線斜率存在時，設(shè)為k,則此直線為：y=k(x－)(k≠0)，且設(shè)

P1（x1,y2),P2(x2,y2)。

由得：

k2x2－p(k2+2)x+

∴x1+x2=    ①

x1·x2=　　　　　　 ②

根據(jù)拋物線定義有

|P1F|=x1+,|P2F|=x2+。

∴|P1P2|=x1+x2+p

則

將①②代入并化簡得：

證法二：

如圖所示，設(shè)P1、P2、F點在C的準線l上的射影分別是P1′、P2′、F′，且不妨設(shè)|P2P2′|=n＜m=|P1P1′|,又設(shè)P2點在FF′、P1P1′上的射影分別是A、B點，由拋物線定義知，

|P2F|=n,|P1F|=m,|F′F|=p

又△P2AF∽△P2BP1

∴

即

∴p(m+n)=2mn

∴

故原命題成立。


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標系xOy中，點M(2，-
12
)，點F為拋物線C：y=mx2（m＞0）的焦點，線段MF恰被拋物線C平分．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）過點M作直線l交拋物線C于A，B兩點，設(shè)直線FA、FM、FB的斜率分別為k1、k2、k3，問k1，k2，k3能否成公差不為零的等差數(shù)列？若能，求直線l的方程；若不能，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=4x，過點A（x0，0）（其中x0為常數(shù)，且x0＞0）作直線l交拋物線于P，Q（點P在第一象限）；
（1）設(shè)點Q關(guān)于x軸的對稱點為D，直線DP交x軸于點B，求證：B為定點；
（2）若x0=1，M1，M2，M3為拋物線C上的三點，且△M1M2M3的重心為A，求線段M2M3所在直線的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•浙江）設(shè)F為拋物線C：y2=4x的焦點，過點P（-1，0）的直線l交拋物線C于兩點A，B，點Q為線段AB的中點，若|FQ|=2，則直線l的斜率等于
不存在
不存在
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：數(shù)學(xué)教研室 題型：044

若線段P1P2為拋物線C：y2=2px(p＞0)的一條焦點弦，F為C的焦點，求證：。

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