已知拋物線C:y2=4x,過點(diǎn)A(x0,0)(其中x0為常數(shù),且x0>0)作直線l交拋物線于P,Q(點(diǎn)P在第一象限);
(1)設(shè)點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為D,直線DP交x軸于點(diǎn)B,求證:B為定點(diǎn);
(2)若x0=1,M1,M2,M3為拋物線C上的三點(diǎn),且△M1M2M3的重心為A,求線段M2M3所在直線的斜率的取值范圍.
分析:(1)設(shè)出直線PD的方程,令y=0,求出x,設(shè)l:y=k(x-x0),代入拋物線方程,化簡即可得到結(jié)論;
(2)設(shè)lM1M2:y=kx+m,代入拋物線方程,利用韋達(dá)定理及重心坐標(biāo),求出M1的坐標(biāo),利用M1在拋物線y2=4x上,即可求得結(jié)論.
解答:(1)證明:設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則D(x2,-y2),直線PD的方程為y-y1=
y1+y2
x1-x2
(x-x1)
,
令y=0,x=
x2y1+x1y2
y1+y2
=
y22
4
•y1+
y12
4
y2
y1+y2
=
y1y2
4
,
設(shè)l:y=k(x-x0),代入拋物線方程,得到ky2-4y-4kx0=0,∴y1y2=-4x0
∴x=x0,即B(x0,0)為定點(diǎn);
(2)解:A(1,0),設(shè)lM1M2:y=kx+m,M1(x1′,y1′),M2(x2′,y2′),M3(x3′,y3′),M2M3中點(diǎn)E(xE′,yE′),
lM1M2:y=kx+m代入拋物線方程,可得k2x2+(2km-4)x+m2=0,
∴x1′+x2′=
4-2km
k2
,
∴y1′+y2′=
4
k
,
∴E(
2-km
k2
2
k
),
∵2
EF
=
FM1
,∴M1(3-
4-2km
k2
,-
4
k
),
∵M(jìn)1在拋物線y2=4x上,
16
k2
=4(3-
4-2km
k2
)

∴3k2+2km=8,
又△>0得16-16km>0,∴km<1,
∴2km=8-3k2<2,
∴k2>2,
k>
2
k<-
2
點(diǎn)評:本題考查直線恒過定點(diǎn),考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理的運(yùn)用,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,A是拋物線上橫坐標(biāo)為4且位于x軸上方的點(diǎn). A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5,過A作AB垂直于y軸,垂足為B,OB的中點(diǎn)為M(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(Ⅰ)求拋物線C的方程;
(Ⅱ)過M作MN⊥FA,垂足為N,求點(diǎn)N的坐標(biāo);
(Ⅲ)以M為圓心,4為半徑作圓M,點(diǎn)P(m,0)是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試討論直線AP與圓M的位置關(guān)系.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線C:y2=2px(p>0),F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn),A為拋物線C上的動(dòng)點(diǎn),過A作拋物線準(zhǔn)線l的垂線,垂足為Q.
(1)若點(diǎn)P(0,4)與點(diǎn)F的連線恰好過點(diǎn)A,且∠PQF=90°,求拋物線方程;
(2)設(shè)點(diǎn)M(m,0)在x軸上,若要使∠MAF總為銳角,求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線C:y2=2Px(p>0)上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5.
(Ⅰ)求拋物線C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線y=kx+b(k≠0)與拋物線C交于兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),且|y1-y2|=a(a>0),求證:a2=
16(1-kb)k2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線C:y2=4x,點(diǎn)M(m,0)在x軸的正半軸上,過M的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(I)若m=1,且直線l的斜率為1,求以AB為直徑的圓的方程;
(II)問是否存在定點(diǎn)M,不論直線l繞點(diǎn)M如何轉(zhuǎn)動(dòng),使得
1
|AM|2
+
1
|BM|2
恒為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線C:y2=8x與點(diǎn)M(-2,2),過C的焦點(diǎn),且斜率為k的直線與C交于A,B兩點(diǎn),若
MA
MB
=0,則k=( 。

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