【題目】某鮮花小鎮(zhèn)圈定一塊半徑為1百米的圓形荒地,準(zhǔn)備建成各種不同鮮花景觀帶.為了便于游客觀賞,準(zhǔn)備修建三條道路ABBC,CA,其中AB,C分別為圓上的三個(gè)進(jìn)出口,且AB分別在圓心O的正東方向與正北方向上,C在圓心O南偏西某一方向上.在道路ACBC之間修建一條直線型水渠MN種植水生觀賞植物黃鳶尾(其中點(diǎn)MN分別在BCCA上,且M在圓心O的正西方向上,N在圓心O的正南方向上),并在區(qū)域MNC內(nèi)種植柳葉馬鞭草.

(1)求水渠MN長(zhǎng)度的最小值;

(2)求種植柳葉馬鞭草區(qū)域MNC面積的最大值(水渠寬度忽略不計(jì)).

【答案】(1)百米;(2)平方米.

【解析】

1)設(shè),可表示出直線的方程,從而求得兩點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而將表示為關(guān)于的函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求得最值;(2)方法一:將表示為,利用將面積表示出來(lái),利用進(jìn)行換元,從而化簡(jiǎn)得:,再根據(jù)的范圍求得面積最大值;方法二:利用三角形面積公式,直接用表示出,再利用換元,也可得到,從而與方法一采用相同的求最大值方法求值.

【解】(1)以圓心為原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系,則圓的方程為

設(shè)點(diǎn),

直線的方程為,令,得

直線的方程為,令,得

所以

,

,得

當(dāng)時(shí),,則單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí),,則單調(diào)遞增;

所以當(dāng)時(shí),

所以

水渠長(zhǎng)度的最小值為百米

(2)由(1)可知,,,且

設(shè),因?yàn)?/span>,所以

所以

所以當(dāng)時(shí),

種植柳葉馬鞭草區(qū)域面積的最大值為平方百米

另法:(2)因?yàn)?/span>,所以

所以

設(shè),因?yàn)?/span>,所以

所以,

所以當(dāng)時(shí),

種植柳葉馬鞭草區(qū)域面積的最大值為平方百米

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在圓心角為直角的扇形OAB區(qū)域中,M、N分別為OAOB的中點(diǎn),在MN兩點(diǎn)處各有一個(gè)通信基站,其信號(hào)的覆蓋范圍分別為以OA、OB為直徑的圓,在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)無(wú)信號(hào)的概率是 

A. B. C. D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】下列說法中正確的個(gè)數(shù)是( )

①相關(guān)系數(shù)用來(lái)衡量?jī)蓚(gè)變量之間線性關(guān)系的強(qiáng)弱,越接近于1,相關(guān)性越弱;

②回歸直線過樣本點(diǎn)中心;

③相關(guān)指數(shù)用來(lái)刻畫回歸的效果,越小,說明模型的擬合效果越不好.

A. 0B. 1C. 2D. 3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,正方形的邊長(zhǎng)為米,圓的半徑為米,圓心是正方形的中心,點(diǎn)分別在線段、上,若線段與圓有公共點(diǎn),則稱點(diǎn)在點(diǎn)的“盲區(qū)”中,已知點(diǎn)/秒的速度從出發(fā)向移動(dòng),同時(shí),點(diǎn)/秒的速度從出發(fā)向移動(dòng),則在點(diǎn)移動(dòng)到的過程中,點(diǎn)在點(diǎn)的盲區(qū)中的時(shí)長(zhǎng)約________秒(精確到).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐中,,,.

(1)求證:;

(2)若,的中點(diǎn).

(i)過點(diǎn)作一直線平行,在圖中畫出直線并說明理由;

(ii)求平面將三棱錐分成的兩部分體積的比.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的離心率為,且左焦點(diǎn)F1到左準(zhǔn)線的距離為4.

(1)求橢圓的方程;

(2)若與原點(diǎn)距離為1的直線l1與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),直線l2l1平行,且與橢圓相切于點(diǎn)MO,M位于直線l1的兩側(cè)).記△MAB,△OAB的面積分別為S1,S2,若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如下圖,在正方體中,點(diǎn)分別為棱,的中點(diǎn),點(diǎn)為上底面的中心,過三點(diǎn)的平面把正方體分為兩部分,其中含的部分為,不含的部分為,連接的任一點(diǎn),設(shè)與平面所成角為,則的最大值為( )

A. B. C. D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的離心率為,且橢圓短軸的一個(gè)頂點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于.

(1)求橢圓的方程;

(2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線交橢圓,兩點(diǎn),點(diǎn).

①若對(duì)任意直線總存在點(diǎn),使得,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

②設(shè)點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn),若點(diǎn)的外心,求實(shí)數(shù)的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】為調(diào)查某校學(xué)生每周課外閱讀的情況,采用分層抽樣的方法,收集100位學(xué)生每周課外閱讀時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)(單位:小時(shí)).根據(jù)這100個(gè)數(shù)據(jù),制作出學(xué)生每周課外閱讀時(shí)間的頻率分布直方圖(如圖).

(1)估計(jì)這100名學(xué)生每周課外閱讀的平均數(shù)和樣本方差(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);

(2)由頻率分布直方圖知,該校學(xué)生每周課外閱讀時(shí)間近似服從正態(tài)分布,其中近似為樣本平均數(shù),近似為樣本方差.

①求;

②若該校共有10000名學(xué)生,記每周課外閱讀時(shí)間在區(qū)間的人數(shù)為,試求.

參數(shù)數(shù)據(jù):,若,,.

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