【題目】如圖，在四邊形中，，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且.

（1）證明：平面；

（2）若為的中點，二面角等于60°，求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理即可證明；

（2）由題意知，，取的中點，連接，易知兩兩垂直，以為原點建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)，平面的一個法向量為，求出向量，則向量所成角的余弦值的絕對值即為所求.

（1）證明：因為，

所以平面，

又因為平面，所以.

又因為，

所以平面.

（2）因為，

所以是二面角的平面角，即，

在中，，

取的中點，連接，因為,

所以,由（1）知，平面，為的中位線，

所以，即兩兩垂直，

以為原點建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)，則

，

，設(shè)平面的一個法向量為，

則由得令，得，

所以，

所以直線與平面所成角的正弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（，是自然對數(shù)的底數(shù)），是函數(shù)的一個極值點．

（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）設(shè)，若，不等式恒成立，求的最大值．

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【題目】下列說法正確的是（ ）

A.，“”是“”的必要不充分條件

B.“為真命題”是“為真命題”的必要不充分條件

C.命題“”的否定是：“使得”

D.命題p：“”，則是真命題

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【題目】已知，點在軸上，點在軸上，且，，當(dāng)點在軸上運動時，動點的軌跡為曲線.過軸上一點的直線交曲線于，兩點.

（1）求曲線的軌跡方程；

（2）證明：存在唯一的一點，使得為常數(shù)，并確定點的坐標(biāo).

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【題目】年是打贏藍天保衛(wèi)戰(zhàn)三年行動計劃的決勝之年，近年來，在各地各部門共同努力下，藍天保衛(wèi)戰(zhàn)各項任務(wù)措施穩(wěn)步推進，取得了積極成效，某學(xué)生隨機收集了甲城市近兩年上半年中各天的空氣量指數(shù)，得到頻數(shù)分布表如下：

年上半年中天的頻數(shù)分布表

的分組

天數(shù)

年上半年中天的頻數(shù)分布表

的分組

天數(shù)

（1）估計年上半年甲城市空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的比例；

（2）求年上半年甲城市的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（精確到）

（3）用所學(xué)的統(tǒng)計知識，比較年上半年與年上半年甲城市的空氣質(zhì)量情況.

附：

的分組

空氣質(zhì)量

優(yōu)

良

輕度污染

中度污染

重度污染

嚴(yán)重污染

.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy上取兩個定點A1（，0），A2（，0），再取兩個動點N1（0，m），N2（0，n），且mn＝2.

（1）求直線A1N1與A2N2交點M的軌跡C的方程；

（2）過R（3，0）的直線與軌跡C交于P，Q，過P作PN⊥x軸且與軌跡C交于另一點N，F為軌跡C的右焦點，若（λ＞1），求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一個籠子里關(guān)著只貓，其中有只白貓，只黑貓．把籠門打開一個小口，使得每次只能鉆出只貓．貓爭先恐后地往外鉆.如果只貓都鉆出了籠子，以表示只白貓被只黑貓所隔成的段數(shù)．例如，在出籠順序為“□■□□□□■□□■”中，則．

（1）求三只黑貓挨在一起出籠的概率；

（2）求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】過去五年，我國的扶貧工作進入了“精準(zhǔn)扶貧”階段.目前“精準(zhǔn)扶貧”覆蓋了全部貧困人口，東部幫西部，全國一盤棋的扶貧格局逐漸形成.到2020年底全國830個貧困縣都將脫貧摘帽，最后4335萬貧困人口將全部脫貧，這將超過全球其他國家過去30年脫貧人口總和.2020年是我國打贏脫貧攻堅戰(zhàn)收官之年，越是到關(guān)鍵時刻，更應(yīng)該強調(diào)“精準(zhǔn)”.為落實“精準(zhǔn)扶貧”政策，某扶貧小組，為一“對點幫扶”農(nóng)戶引種了一種新的經(jīng)濟農(nóng)作物，并指導(dǎo)該農(nóng)戶于2020年初開始種植.已知該經(jīng)濟農(nóng)作物每年每畝的種植成本為1000元，根據(jù)前期各方面調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該經(jīng)濟農(nóng)作物的市場價格和畝產(chǎn)量均具有隨機性，且兩者互不影響，其具體情況如下表：

該經(jīng)濟農(nóng)作物畝產(chǎn)量(kg)

該經(jīng)濟農(nóng)作物市場價格(元/kg)

概率

概率

（1）設(shè)2020年該農(nóng)戶種植該經(jīng)濟農(nóng)作物一畝的純收入為X元，求X的分布列；

（2）若該農(nóng)戶從2020年開始，連續(xù)三年種植該經(jīng)濟農(nóng)作物，假設(shè)三年內(nèi)各方面條件基本不變，求這三年中該農(nóng)戶種植該經(jīng)濟農(nóng)作物一畝至少有兩年的純收入不少于16000元的概率；

（3）2020年全國脫貧標(biāo)準(zhǔn)約為人均純收入4000元.假設(shè)該農(nóng)戶是一個四口之家，且該農(nóng)戶在2020年的家庭所有支出與其他收入正好相抵，能否憑這一畝經(jīng)濟農(nóng)作物的純收入，預(yù)測該農(nóng)戶在2020年底可以脫貧?并說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，為正方形，且平面平面，點為棱的中點.

（1）在棱上是否存在一點，使得平面？并說明理由；

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.

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