已知函數(shù)f(x)=2x2-3x+1,g(x)=Asin(x-
π
6
)
,(A≠0)
(1)當0≤x≤
π
2
時,求y=f(sinx)的最大值;
(2)若對任意的x1∈[0,3],總存在x2∈[0,3],使f(x1)=g(x2)成立,求實數(shù)A的取值范圍;
(3)問a取何值時,方程f(sinx)=a-sinx在[0,2π)上有兩解?
分析:(1)由已知可得,y=f(sinx)=2sin2x-3sinx+1設t=sinx,由x∈[0,
π
2
]
可得0≤t≤1,從而可得關(guān)于 t的函數(shù)y=2(t2-
3
2
t)+1=2(t-
3
4
)2-
1
8
,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求
(2)依據(jù)題意有f(x1)的值域是g(x2)值域的子集,要求 A的取值范圍,可先求f(x1)值域,然后分①當A>0時,g(x2)值域②當A<0時,g(x2)值域,建立關(guān)于 A的不等式可求A
的范圍.
(3)2sin2x-3sinx+1=a-sinx化為2sin2x-2sinx+1=a在[0,2π]上有兩解令t=sinx則2t2-2t+1=a在[-1,1]上解的情況可結(jié)合兩函數(shù)圖象的交點情況討論.
解答:解:(1)y=f(sinx)=2sin2x-3sinx+1設t=sinx,x∈[0,
π
2
]
,則0≤t≤1
y=2(t2-
3
2
t)+1=2(t-
3
4
)2-
1
8

∴當t=0時,ymax=1
(2)當x1∈[0,3]∴f(x1)值域為[-
1
8
,10]

當x2∈[0,3]時,則-
π
6
x2-
π
6
≤3-
π
6
-
1
2
≤sin(x2-
π
6
)≤1

①當A>0時,g(x2)值域為[-
1
2
A,A]

②當A<0時,g(x2)值域為[A,-
1
2
A]

而依據(jù)題意有f(x1)的值域是g(x2)值域的子集
A>0
10≤A
-
1
8
≥-
1
2
A
A<0
10≤-
1
2
A
-
1
8
≥A

∴A≥10或A≤-20
(3)2sin2x-3sinx+1=a-sinx化為2sin2x-2sinx+1=a在[0,2π]上有兩解
換t=sinx則2t2-2t+1=a在[-1,1]上解的情況如下:
①當在(-1,1)上只有一個解或相等解,x有兩解(5-a)(1-a)<0或△=0
∴a∈(1,5)或a=
1
2

②當t=-1時,x有惟一解x=
3
2
π

③當t=1時,x有惟一解x=
π
2

故a∈(1,5)或a=
1
2
點評:(1)主要考查了以三角函數(shù)為載體轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題
(2)考查了三角函數(shù)的值域的求解及分類討論思想的應用
(3)體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想的應用,方程與函數(shù)的思想的應用.
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1
x
,(x>0),若存在實數(shù)a,b(a<b),使y=f(x)的定義域為(a,b)時,值域為(ma,mb),則實數(shù)m的取值范圍是( 。

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