Question

探究函數(shù)f(x)=x+

4

x

，x∈(0，+∞)的最小值，并確定取得最小值時(shí)x的值．
列表如下：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	8.5	5	4.17	4.05	4.005	4	4.005	4.002	4.04	4.3	5	5.8	7.57	…

請(qǐng)觀察表中y值隨x值變化的特點(diǎn)，完成以下的問題．
函數(shù)f(x)=x+

4

x

(x＞0)在區(qū)間（0，2）上遞減；
函數(shù)f(x)=x+

4

x

(x＞0)在區(qū)間

（2，+∞）

上遞增．
當(dāng)x=

2

時(shí)，y_最小=

4

．
證明：函數(shù)f(x)=x+

4

x

(x＞0)在區(qū)間（0，2）遞減．
思考：
（1）函數(shù)f(x)=x+

4

x

(x＜0)時(shí)，有最值嗎？是最大值還是最小值？此時(shí)x為何值？（直接回答結(jié)果，不需證明）
（2）函數(shù)f(x)=x+

k

x

(x＞0，k＞0)時(shí)有最值嗎？是最大值還是最小值？此時(shí)x為何值？（直接回答結(jié)果，不需證明）

Answer 1

分析：由表格可知函數(shù)f(x)=x+

4

x

(x＞0)在（2，+∞）上遞增；當(dāng)x=2時(shí)，y_最小=4，證明單調(diào)性可用定義法；思考題兩步可由圖象結(jié)合基本不等式的結(jié)論可得答案．

解答：解：由表格可知函數(shù)f(x)=x+

4

x

(x＞0)在（2，+∞）上遞增；當(dāng)x=2時(shí)，y_最小=4
證明：設(shè)x₁，x₂是區(qū)間，（0，2）上的任意兩個(gè)數(shù)，且x₁＜x₂．
f(x1)-f(x2)=x1+

4

x1

-(x2+

4

x2

)=x1-x2+

4

x1

-

4

x2

=(x1-x2)(1-

4

x1x2

)=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0
又∵x₁，x₂∈（0，2），∴0＜x₁x₂＜4，∴x₁x₂-4＜0，∴y₁-y₂＞0
∴函數(shù)在（0，2）上為減函數(shù)．
思考：（1）y=x+

4

x

，x∈(-∞，0)時(shí)，x=-2時(shí)，y最大=-4

（2）函數(shù)f(x)=x+

k

x

(x＞0，k＞0)時(shí)有最小值，此時(shí)x=

k

，y_最小=2

k

點(diǎn)評(píng)：本題為函數(shù)的單調(diào)性及最值得求解，觀察圖表結(jié)合基本不等式是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．